Тема 26. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Определения и обозначения

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями — это действие, при котором складывают числители, а знаменатель оставляют прежним. Например, 2/7 + 3/7 = 5/7. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Поэтому правило помогает посчитать общее количество долей одинакового размера.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — действие, при котором из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, сохраняя знаменатель. Например, 5/8 − 2/8 = 3/8. Вычитаются части одного и того же размера, поэтому менять знаменатель не нужно. Это правило используют, когда из имеющегося количества долей убирают несколько долей.

Общий знаменатель — одинаковый знаменатель, к которому приводят дроби с разными знаменателями перед сложением или вычитанием. Например, дроби 1/2 и 1/3 можно представить как 3/6 и 2/6. Теперь доли имеют одинаковый размер, и с ними можно работать по общему правилу. Общий знаменатель нужен, чтобы сравнивать или объединять части, измеренные разными долями.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля. Так получают равную дробь в более простом виде: 6/9 = 2/3, потому что обе части разделили на 3. Количество долей и их размер меняются одновременно так, что значение дроби остаётся прежним. Сокращение помогает записать ответ короче и понятнее.

Как это устроено

Когда знаменатели равны, части целого имеют один и тот же размер. Если к 2/9 прибавить 4/9, получится шесть девятых: считаем, сколько одинаковых долей стало, а не меняем их величину. По той же причине при вычитании из количества долей убирают нужное количество долей. Если складывать или вычитать знаменатели, пришлось бы менять размер частей прямо во время счёта.

Для дробей с разными знаменателями сначала нужно сделать доли одинаковыми. Это возможно благодаря основному свойству дроби: если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, значение дроби не изменится. Например, в дроби 1/3 можно разделить каждую треть на четыре равные части: получится 4/12. Так каждую дробь превращают в равную ей дробь, знаменатель которой подходит для общего счёта.

После приведения к общему знаменателю дроби обозначают доли одинакового размера. Поэтому действие с ними становится таким же, как действие с дробями, у которых знаменатели изначально совпадали: складывают или вычитают только числители. Например, 1/3 + 1/4 превращается в 4/12 + 3/12, а затем в 7/12. Если оставить разные знаменатели, числа в числителях будут считать доли разного размера, и такой подсчёт не даст верного результата.

После вычисления стоит проверить, нельзя ли упростить ответ. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь сокращают; например, 6/9 превращается в 2/3. Если получилась неправильная дробь, то есть числитель не меньше знаменателя, из неё можно выделить целую часть: 7/4 = 1 3/4. Такой вид часто удобнее для ответа, особенно когда речь идёт о количестве больше одного целого.

В смешанных числах есть целая и дробная части, поэтому при сложении обычно отдельно складывают целые части и дробные части. При вычитании поступают так же, если дробной части уменьшаемого хватает. Если её меньше, чем дробная часть вычитаемого, занимают одну целую: например, 3 целых можно представить как 2 целых и 1 целую, а эту целую записать дробью с нужным знаменателем. Тогда дробные части удаётся вычесть, не меняя значения числа.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Сначала найди в таблице свой случай, затем выполни действие в указанном порядке. Последняя колонка помогает не забыть проверку и правильно оформить результат. Если в примере есть смешанные числа, обрати особое внимание на дробные части.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/9 + 4/9. Знаменатели равны, значит, обе дроби считают девятые доли. Достаточно выяснить, сколько таких долей получится вместе. После вычисления проверим, можно ли упростить дробь.

1. Сравним знаменатели: в обеих дробях стоит 9, поэтому приводить их к общему знаменателю не нужно.
2. Сложим числители: 2 + 4 = 6. Знаменатель оставим прежним и получим 6/9.
3. Сократим дробь: числитель и знаменатель делятся на 3, поэтому 6/9 = 2/3.

Ответ: 2/3. Проверка показывает, что ответ равен исходным шести девятым, только записан короче. Знаменатель не складывался, потому что размер долей всё время оставался равным одной девятой.

Задача 2. Вычислите 1/3 + 1/4. Здесь знаменатели разные, значит, третьи и четверти имеют неодинаковый размер. Сначала представим обе дроби в двенадцатых долях: 12 делится и на 3, и на 4. Так мы сможем посчитать доли одинакового размера.

1. Выберем общий знаменатель 12. Первую дробь умножим на 4 сверху и снизу: 1/3 = 4/12.
2. Вторую дробь умножим на 3 сверху и снизу: 1/4 = 3/12. Обе дроби сохранили своё значение.
3. Сложим числители: 4 + 3 = 7, а знаменатель оставим прежним. Получим 7/12.

Ответ: 7/12. Это правильная дробь, и сократить её нельзя, потому что 7 и 12 не делятся на одно и то же число больше 1. Перед сложением мы сделали доли одинаковыми, поэтому теперь можно считать их количество.

Задача 3. Вычислите 3 1/5 − 1 3/4. Целую часть уменьшаемого можно вычесть, но дробной части 1/5 не хватает, чтобы вычесть 3/4. Приведём дробные части к двадцатым, а затем займём одну целую. Так вычитание станет возможным и число не изменится.

1. Приведём дроби к знаменателю 20: 1/5 = 4/20, а 3/4 = 15/20. Получаем 3 4/20 − 1 15/20.
2. Займём одну целую у числа 3: запишем его как 2 целых и 1 целую. Одна целая равна 20/20, поэтому 3 4/20 = 2 24/20.
3. Вычтем части: 2 − 1 = 1, а 24/20 − 15/20 = 9/20. Получим 1 9/20.

Ответ: 1 9/20. Дробная часть получилась правильной, сократить 9/20 нельзя. Заём выполнен верно: целая часть уменьшилась на 1, а дробная увеличилась на одну целую, поэтому исходное число сохранилось.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать знаменатели. Например, из 2/7 + 3/7 нельзя получать 5/14, потому что это число уже описывает четырнадцатые доли, а не те же седьмые доли. Так ошибаются, перенося привычное сложение натуральных чисел на обе части дроби. Проверь себя: если знаменатели одинаковы, размер доли не меняется, поэтому ответ должен сохранить знаменатель.

Ошибка: выполнять действие с дробями, у которых разные знаменатели, сразу по числителям. Числители считают доли разного размера, поэтому их нельзя просто объединить или вычесть. Часто знаменатели кажутся второстепенными, хотя именно они задают размер частей. Проверь, одинаковы ли знаменатели; если нет, сначала приведи дроби к общему знаменателю.

Ошибка: при приведении дроби умножить только знаменатель. Тогда значение дроби изменится: например, 1/3 нельзя заменить на 1/12, ведь это уже другая доля. Так происходит, когда забывают, что дробь должна остаться равной исходной. Проверь себя: на одно и то же число должны быть умножены и числитель, и знаменатель.

Ошибка: оставить ответ несокращённым или неверно занять целую при вычитании смешанных чисел. При сокращении делят на одно и то же число обе части дроби, а при займе целая превращается в дробь с нужным знаменателем. Путаются, если изменяют только дробную часть и забывают уменьшить целую на единицу. Проверь результат обратным действием и убедись, что сумма новой целой и дробной частей равна исходному числу.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять действия с дробями, нужно знать основное свойство дроби: оно позволяет менять запись, не меняя значение. Также пригодятся сокращение и сравнение дробей, а ещё правила действий с натуральными числами. Эти знания помогают находить общий знаменатель и проверять, какая дробь больше.

Сложение и вычитание дробей нужны в задачах, где целое разделено на части, и при действиях со смешанными числами. Тот же навык пригодится при изучении десятичных дробей: там тоже важно понимать размер долей и правильно складывать части. Умение приводить дроби к общему знаменателю помогает сравнивать разные доли одного целого.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители.
• Знаменатель при таком действии остаётся прежним.
• Перед действием с разными знаменателями дроби приводят к общему знаменателю.
• При умножении числителя для приведения дроби знаменатель умножают на то же число.
• Ответ при возможности сокращают.
• Из неправильной дроби можно выделить целую часть.