"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура. Чтобы сравнивать и измерять площади, используют одинаковые единицы — например, квадратный сантиметр, то есть площадь квадрата со стороной 1 см. Площадь прямоугольника находят умножением длин его смежных сторон, а площадь квадрата — умножением стороны на саму себя. Все длины перед вычислением должны быть выражены в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — числовая характеристика размера плоской фигуры. Она показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. У равных фигур площади равны, поэтому площадь помогает сравнивать фигуры не только по виду, но и точно.
Единица площади — это площадь квадрата с выбранной длиной стороны. Общая единица нужна, чтобы результаты измерений можно было сравнивать: например, сказать не просто «эта фигура больше», а «её площадь равна 12 квадратным единицам». Без одной и той же единицы измерения числа площадей не имели бы общего смысла.
Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Его записывают так: 1 см², где верхний индекс 2 показывает, что речь идёт о квадратной единице. Эта единица удобна для измерения небольших фигур и поверхностей.
Площадь прямоугольника находят по длинам его смежных сторон, то есть сторон, имеющих общую вершину. Если длина равна a, а ширина равна b, то S = a · b. Правило позволяет быстро узнать число квадратных единиц внутри прямоугольника.
Площади фигур можно сравнивать наложением: если одна фигура целиком помещается внутри другой, её площадь не больше. Но у сложных или больших фигур такое сравнение неудобно. Тогда фигуры покрывают одинаковыми квадратами без промежутков и наложений и сравнивают количество использованных квадратов.
Число квадратных единиц зависит от выбранной единицы измерения. Если взять маленькие квадраты, в фигуре поместится больше штук, а если большие — меньше. Поэтому числовое значение площади меняется вместе с единицей, хотя сама фигура остаётся прежней.
У прямоугольника с целыми сторонами единичные квадраты удобно считать по рядам. В одном ряду помещается столько квадратов, какова длина прямоугольника в выбранных единицах, а количество рядов равно его ширине. Поэтому общее число квадратов находят умножением числа квадратов в ряду на число рядов.
Подсчёт клеток приводит к правилу: площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон. Умножать можно только измерения в одинаковых единицах, иначе стороны относятся к разным масштабам. Например, перед вычислением длину в метрах переводят в сантиметры или наоборот.
У квадрата все стороны имеют одну и ту же длину. Значит, число квадратов в каждом ряду и число рядов одинаковы, поэтому площадь равна произведению стороны на саму себя: S = a · a = a². Знать одну сторону достаточно именно потому, что остальные стороны равны ей.
| Что рассматриваем | Как определить или вычислить | Единица площади |
|---|---|---|
| Площадь произвольной фигуры | Сравнить наложением или покрыть одинаковыми квадратами и сосчитать их | Квадратная единица |
| Площадь прямоугольника | Умножить длины двух смежных сторон: S = a · b | см², м² и другие квадратные единицы |
| Площадь квадрата | Умножить сторону на саму себя: S = a² | см², м² и другие квадратные единицы |
| Квадратный сантиметр | Площадь квадрата со стороной 1 см | 1 см² |
Сначала определите, о какой фигуре говорится и известны ли её стороны. Затем выберите способ измерения или нужную формулу. Проверьте, что единицы длины одинаковы, а в ответе указана квадратная единица.
Задача 1. На клетчатой бумаге фигура занимает 12 клеток, площадь каждой клетки равна 1 см². Нужно определить площадь всей фигуры. Каждая клетка уже является одной единицей площади, поэтому достаточно узнать их общее количество.
Ответ: площадь фигуры равна 12 см². Здесь не нужно измерять длину границы фигуры. Считаются квадраты, которые покрывают её площадь.
Задача 2. Длина прямоугольника равна 8 см, а ширина — 5 см. Обе величины выражены в сантиметрах, значит, их можно сразу использовать в формуле. Требуется найти площадь прямоугольника.
Ответ: площадь прямоугольника равна 40 см². Умножение показывает, сколько квадратов со стороной 1 см расположится внутри: 8 квадратов в каждом из 5 рядов. Сложение 8 + 5 дало бы только сумму двух сторон, а не число единичных квадратов.
Задача 3. Сторона квадрата равна 6 см. У квадрата все стороны равны, поэтому одной длины достаточно для вычисления площади. Нужно найти площадь и объяснить выбор действия.
Ответ: площадь квадрата равна 36 см². Одна сторона задаёт и длину, и ширину квадрата, так как они равны. Поэтому в формуле одна и та же длина умножается сама на себя.
Сантиметры вместо квадратных сантиметров. Иногда в ответе пишут 20 см, хотя вычисляли площадь. Ошибка появляется из-за смешения длины и площади; проверьте, что после умножения длин стоит единица см², м² или другая квадратная единица.
Сложение длины и ширины. Запись 8 + 5 находит сумму двух сторон, но не число квадратов внутри прямоугольника. Такую ошибку допускают, когда путают периметр с площадью. Проверьте себя вопросом: «Сколько рядов квадратов и сколько квадратов в каждом ряду?»
Разные единицы длины. Нельзя без подготовки умножать, например, 2 м на 30 см. Сначала переведите обе величины в метры или обе в сантиметры, а затем выполните умножение. После вычисления убедитесь, что единица площади соответствует выбранной единице длины.
Неверный подсчёт клеток по границе. Клетки, которые лишь частично видны у края, нельзя автоматически считать целыми. Нужно учитывать полностью покрытые квадраты, а неполные части объединять, если они составляют целый квадрат. Для проверки мысленно разделите фигуру на ряды и пересчитайте клетки внутри неё.
Для вычисления площади нужно уметь измерять длину отрезка, различать сантиметры, метры и другие единицы длины. Также понадобятся таблица умножения и умение выполнять умножение. Ошибка в единицах или вычислениях приведёт к неверной площади.
Площадь используют при расчёте размеров комнат, земельных участков и различных поверхностей. Позже это понятие поможет изучать новые единицы измерения величин и вычислять площади более сложных фигур. Поэтому правило для прямоугольника становится основой многих практических задач.
Чем площадь отличается от длины?
Длина показывает размер отрезка в одном направлении. Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, поэтому её измеряют квадратными единицами.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Фигуру можно покрыть одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Число таких квадратов показывает площадь, поэтому используют см², м² и другие квадратные единицы.
Как понять, что одна фигура имеет большую площадь, чем другая?
Если фигуры можно наложить одну на другую, большая площадь будет у той, часть которой выступает за границы другой. Если наложение неудобно, обе фигуры покрывают одинаковыми квадратными единицами и сравнивают их количество.
Почему площадь прямоугольника находят умножением, а не сложением?
Единичные квадраты в прямоугольнике расположены рядами. Чтобы узнать их общее число, количество квадратов в одном ряду умножают на число рядов.
Что делать, если стороны прямоугольника указаны в разных единицах?
Сначала нужно перевести одну длину в единицы другой. После этого умножают числовые значения и записывают площадь в соответствующих квадратных единицах.
Тема 30. Площадь
