"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Задачи по курсу 5 класса объединяют основные способы вычислений и рассуждений: действия с обыкновенными и десятичными дробями, проценты, уравнения, периметр и площадь. Главное — не угадывать действие, а выяснять связь между известными величинами и тем, что требуется найти. Последовательный план, аккуратная запись и проверка помогают решить задачу и убедиться, что ответ разумен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — запись вида m/n, где числитель показывает, сколько долей взято, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Например, в дроби 3/5 взяли три доли из пяти. Это нужно, чтобы точно записывать части предметов, величин и расстояний.
Десятичная дробь — запись дробного числа с запятой, в которой после запятой стоят десятые, сотые и следующие разряды. В числе 2,35 цифра 3 означает три десятых, а 5 — пять сотых. Такая запись удобна для измерений, сравнения чисел и выполнения вычислений.
Процент — одна сотая часть величины: 1% = 1/100 = 0,01. Поэтому 20% — это 20 сотых, или 0,2, то есть пятая часть целого. Проценты помогают описывать скидки, изменения величин и части целого в задачах.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого нужно найти так, чтобы равенство стало верным. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Уравнения позволяют находить неизвестную величину, если известна связь между всеми величинами.
В текстовой задаче сначала выделяют известные данные и величину, которую требуется найти. Затем устанавливают связь между ними: например, остаток получают вычитанием, а равные части — делением. Такой план нужен, чтобы каждое действие отвечало на конкретный вопрос, а не выполнялось просто по порядку появления чисел.
При сложении и вычитании обыкновенных дробей доли должны быть одинакового размера, поэтому дроби приводят к общему знаменателю. После этого складывают или вычитают только числители, а знаменатель сохраняют. При умножении дробей перемножают числители и знаменатели, а при делении первую дробь умножают на дробь, обратную второй.
Десятичная дробь связана с обыкновенной: 0,7 = 7/10, а 0,25 = 25/100. Разрядная запись показывает величину каждой цифры, поэтому при сравнении сначала смотрят на целые части, затем на десятые, сотые и другие разряды. При сложении и вычитании запятые записывают одну под другой, чтобы складывались одинаковые разряды.
Чтобы найти долю величины, число делят на знаменатель и берут нужное число таких долей: 3/5 от 20 равны 20 : 5 · 3. Чтобы найти величину по её доле, известное значение делят на эту долю. Процент переводят в сотую долю или десятичную дробь, потому что 15% = 15/100 = 0,15.
Проверка нужна, чтобы обнаружить ошибку в вычислении или рассуждении. В уравнении найденное значение подставляют вместо неизвестного и сравнивают части равенства. В вычислениях используют обратное действие, а в задаче дополнительно оценивают, не слишком ли велик или мал полученный ответ.
| Тип задачи | Что требуется найти | Основной способ | Как проверить ответ |
|---|---|---|---|
| Задача на несколько действий | Промежуточную и искомую величины | Составить план и выполнить действия по смыслу | Выполнить обратные действия |
| Действия с обыкновенными дробями | Сумму, разность, произведение или частное | Применить правило для нужного действия | Оценить результат и выполнить обратное действие |
| Действия с десятичными дробями | Результат вычисления | Выровнять разряды или перенести запятые одинаково | Приблизительно оценить ответ |
| Нахождение доли или процентов от величины | Часть величины или величину целиком | Умножить на долю либо разделить на неё | Сравнить ответ с целым |
| Решение уравнения | Неизвестное число | Применить обратное действие | Сделать подстановку |
| Геометрическая задача на периметр или площадь | Длину границы или размер поверхности | Использовать формулу и единицы измерения | Проверить единицы и порядок величины |
Сначала определи, к какому типу относится задача, а затем выбери способ из третьего столбца. Последний столбец подсказывает, как быстро проверить полученный результат. Если условие сочетает несколько типов, применяй способы по очереди.
В библиотеку привезли 135 книг. 48 книг уже поставили на полки, а остальные поровну разложили в 3 коробки. Нужно найти, сколько книг оказалось в одной коробке.
Ответ: в каждой коробке 29 книг. Первым было вычитание, потому что сначала нужно было узнать остаток, и только потом делить его на число коробок.
Турист прошёл в первый день 3/8 маршрута, а во второй — 1/4. Требуется узнать, какая часть пути осталась. Сначала найдём пройденную часть, затем вычтем её из целого маршрута.
Ответ: туристу осталось пройти 3/8 маршрута. Проверка проста: 3/8 + 1/4 + 3/8 = 3/8 + 2/8 + 3/8 = 8/8, то есть весь маршрут.
После скидки 20% тетрадь стоит 240 рублей. Скидка уменьшила первоначальную цену на 20%, значит, 240 рублей составляют оставшиеся 80%. Нужно найти целую цену по известной части.
Ответ: до скидки тетрадь стоила 300 рублей. Нельзя делить 240 на 0,2, потому что 20% — это размер скидки, а не часть цены после скидки.
При сложении дробей иногда складывают и знаменатели. Так делают, потому что числители и знаменатели записаны рядом, но знаменатель задаёт размер долей. Приведи дроби к общему знаменателю и проверь, что доли стали одинаковыми.
При делении десятичных дробей запятую могут передвинуть только в делимом. Это нарушает значение частного: чтобы делитель стал целым, запятую передвигают одинаковое число раз в обоих числах. После вычисления прикинь результат приблизительно.
Процент от величины иногда принимают за всю величину. Например, 20% — это только 0,2 целого, а не 100%; проверь, какая часть остаётся или требуется по условию. Если находишь процент от числа, умножай число на процент, записанный дробью или десятичной дробью.
В многошаговой задаче действия выполняют по порядку появления чисел. Ошибка возникает, если не выяснить, какие величины связаны между собой. Перед вычислениями сформулируй вопрос к каждому действию и проверь, отвечает ли оно на этот вопрос.
Для решения задач нужны таблица умножения, порядок действий, свойства сложения и умножения, а также смысл деления. Без этих основ трудно понять, почему выбирается конкретное действие.
Обыкновенные и десятичные дроби подготавливают к изучению рациональных чисел и более сложных вычислений. Навыки работы с уравнениями и процентами понадобятся в следующих курсах математики и в бытовых расчётах.
Периметр и площадь связывают арифметику с геометрией. Эти умения применяют при измерении комнат, расчёте материалов, покупках и планировании расходов.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым в текстовой задаче?
Сначала выясни, что известно и что требуется найти. Затем определи, какую величину можно найти непосредственно по условию; именно это действие обычно выполняют первым.
Почему при сложении дробей нельзя складывать знаменатели?
Знаменатель показывает размер долей, и при разных знаменателях доли имеют разный размер. Сначала дроби заменяют равными дробями с общим знаменателем, а затем складывают числители.
Как быстро сравнить две десятичные дроби?
Сначала сравни целые части, затем цифры после запятой слева направо. Если цифр после запятой не хватает, допиши нули: например, 0,7 = 0,70.
Как найти первоначальную цену, если известна цена после скидки?
После скидки остаётся не 100%, а 100% − размер скидки. Раздели известную цену на соответствующую десятичную дробь: после скидки 20% цена составляет 80%, то есть 0,8 первоначальной цены.
Какими способами можно проверить решение уравнения?
Подставь найденное значение вместо неизвестного и вычисли обе части равенства. Можно также выполнить обратное действие или оценить, подходит ли ответ по смыслу задачи.
З Задачи по курсу 5 класса
