Пересекающиеся и непересекающиеся линии

Определения и обозначения

Линия — геометрическая фигура, которую изображают и рассматривают на чертеже. Она может быть прямой, кривой или иметь более сложную форму. Поэтому, сравнивая линии, нельзя заранее считать, что они устроены одинаково. Понятие линии помогает описывать фигуры и их расположение на чертеже.

Пересекающиеся линии — линии, имеющие общую точку. Общая точка — место, через которое проходят обе линии, а не просто участок, где они расположены близко. Если такая точка есть, линии пересекаются. Это определение нужно, чтобы проверять расположение линий точно, а не на глаз.

Точка пересечения — общая точка двух или нескольких линий. Её можно отметить на чертеже и назвать заглавной буквой, например A. Буква помогает сослаться на нужное место и отличить его от других точек. Если общих точек несколько, каждую из них можно обозначить отдельно.

Непересекающиеся линии — линии, у которых нет ни одной общей точки. Для прямых на плоскости такие линии называют параллельными. Это название относится именно к прямым, а не ко всем линиям любой формы. Различение терминов помогает не смешивать общее свойство линий и отдельный случай с прямыми.

Как это устроено

Чтобы определить, пересекаются ли две линии, нужно выяснить, существует ли точка, принадлежащая обеим. Если обе линии проходят через одно место, оно является общей точкой, даже если на рисунке оно обозначено не сразу. Если ни одной такой точки нет, линии непересекающиеся. Проверка по определению надёжнее, чем сравнение расстояния между линиями на глаз.

Количество точек пересечения зависит от формы линий и от того, как они расположены. Две прямые, которые не совпадают, могут пересечься в одной точке, а линии сложной формы способны встретиться несколько раз. Например, изгиб одной линии может пересечь другую линию в разных местах. Поэтому нельзя заранее считать, что у любых пересекающихся линий общая точка только одна.

Точку пересечения на рисунке отмечают в том месте, где линии имеют общую точку, и подписывают заглавной буквой. Если линии уже пересекаются точно в обозначенной точке A, говорят, что они пересекаются в точке A. Такое обозначение делает описание чертежа коротким и однозначным. Подписывать букву рядом нужно так, чтобы было понятно, к какой точке она относится.

Если линии проходят близко друг к другу, нужно проверить, соединяются ли они в общей точке. На аккуратном чертеже можно проследить каждую линию и увидеть, соприкасаются ли они; при сомнении полезно рассмотреть место внимательнее. Простого малого расстояния между линиями недостаточно: две линии могут идти рядом, но не иметь общей точки. Значит, решающий признак — наличие общей точки, а не то, насколько близко линии нарисованы.

Короткий фрагмент чертежа показывает только часть линий, поэтому их дальнейшее расположение может быть не видно. Особенно это важно для прямых: они не заканчиваются у краёв нарисованного отрезка, а продолжаются в обе стороны. Две прямые могут выглядеть непересекающимися на видимом участке, но встретиться за его пределами. Поэтому по небольшому фрагменту нельзя делать вывод о непересечении, не учитывая продолжение прямых.

Сравнение пересекающихся и непересекающихся линий

Пользуйся таблицей, начиная с главного признака — наличия общей точки. Затем проверь, что именно изображено: линии произвольной формы или прямые. Для прямых на плоскости отсутствие общей точки означает, что они параллельны.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке две линии имеют общую точку A. Определи, пересекаются ли они, и назови точку пересечения. Здесь условие уже сообщает, что линии проходят через одно и то же место. Значит, достаточно связать это свойство с определением пересекающихся линий.

1. Проверяем признак: у линий есть общая точка. Это означает, что обе линии проходят через одно и то же место.
2. По определению линии с общей точкой пересекаются. В условии эта общая точка обозначена буквой A.

Ответ: линии пересекаются в точке A.

Задача 2

На чертеже изображены несколько пар линий. Для каждой пары укажи, пересекаются ли линии, и отметь точку пересечения, если она есть. Необходимо рассмотреть пары по очереди, поскольку наличие пересечения у одной пары ничего не говорит о другой. Особенно внимательно проверь места, где линии подходят близко друг к другу.

1. Выбери первую пару и проследи ход обеих линий. Определи, проходят ли они через одну и ту же точку.
2. Если общая точка есть, отметь её и подпиши заглавной буквой; эту пару назови пересекающейся. Если общей точки нет, укажи, что линии не пересекаются.
3. Повтори проверку для каждой оставшейся пары. Не считай линии пересекающимися только из-за близкого расположения.

Ответ: для каждой пары записывают «пересекаются» при наличии общей точки и отмечают её; при отсутствии общей точки записывают «не пересекаются».

Задача 3

Начерти две прямые, которые пересекаются, и две прямые, которые не пересекаются. Объясни, как ты проверил результат. При построении важно помнить, что прямая продолжается в обе стороны, даже если на листе показан только её участок. Поэтому отсутствие пересечения нужно проверять для прямых на плоскости, а не только на коротких отрезках рисунка.

1. Проведи две прямые так, чтобы они встретились в одной точке. Отметь эту общую точку буквой A.
2. Проведи ещё две прямые в одном направлении, не сближая их до встречи. Это параллельные прямые, поэтому общей точки у них нет.
3. Проверь первый случай по наличию общей точки, а второй — по её отсутствию на всей плоскости. В объяснении назови признак, которым пользовался.

Ответ: первая пара пересекается в точке A, вторая пара не пересекается и является параллельной.

Типичные ошибки

Ошибка — считать линии пересекающимися только потому, что они близко подходят друг к другу. Такое впечатление возникает из-за масштаба или неточного рисунка. Проверь, проходит ли одна линия через ту же точку, что и другая: если между ними остаётся промежуток, общей точки нет.

Иногда за точку пересечения принимают место, где линии проходят рядом, но не соединяются. На небольшом чертеже промежуток может быть почти незаметен, поэтому легко ошибиться при быстром взгляде. Рассмотри это место внимательнее и проследи обе линии: точка пересечения должна принадлежать каждой из них.

Нельзя объявлять две прямые непересекающимися только по короткому участку рисунка. Прямые продолжаются в обе стороны, и их общая точка может находиться за пределами нарисованного фрагмента. Проверь, как прямые должны продолжаться, и не путай часть прямой с прямой целиком.

Непересекающимися ошибочно называют линии, если на другом участке рисунка у них уже есть общая точка. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на одном месте. Проследи обе линии целиком и проверь все их участки: достаточно хотя бы одной общей точки, чтобы линии пересекались.

Связь с другими темами

Для работы с пересечением нужно уметь распознавать и изображать на чертеже точки, линии и прямые. Без этого трудно определить, где именно проходит линия и принадлежит ли ей отмеченная точка. Эти начальные геометрические навыки помогают точно читать построения и описывать их словами.

Понятие пересечения понадобится при изучении параллельных и перпендикулярных прямых. Параллельные прямые на плоскости не имеют общих точек, а перпендикулярные пересекаются под прямым углом. Умение находить и называть общие точки также помогает разбирать геометрические чертежи и понимать связи между фигурами.

Что запомнить

• Пересекающиеся линии имеют хотя бы одну общую точку.
• Общую точку пересекающихся линий называют точкой пересечения.
• Точку пересечения можно обозначить заглавной буквой.
• Непересекающиеся линии не имеют общих точек.
• Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называют параллельными.
• Близость линий на рисунке сама по себе не означает пересечения.