З Замкнутая ломаная линия

Определения и обозначения

Ломаная линия — последовательность отрезков, у которой конец каждого отрезка, кроме последнего, совпадает с началом следующего. Иначе говоря, отрезки соединяются по цепочке: каждый следующий начинается там, где закончился предыдущий. Это определение помогает отличить ломаную от набора отдельных отрезков, которые никак не соединены.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную линию. Например, в ломаной ABC отрезки AB и BC — её звенья. Название «звено» удобно, когда нужно отдельно указать или посчитать каждый отрезок линии.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев. Если звенья AB и BC соединены в точке B, то B — вершина. Вершинами называют именно точки, а не отрезки; это различие нужно для правильного описания и подсчёта элементов ломаной.

Замкнутая ломаная линия — ломаная, у которой конец последнего звена совпадает с началом первого. Например, если после отрезков AB, BC и CD провести DA, линия замкнётся. Это определение позволяет проверить, образует ли ломаная непрерывный контур без свободных концов.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, несколько отрезков соединяют последовательно: конец первого делают началом второго, конец второго — началом третьего. Поэтому линия не распадается на отдельные части, а её можно пройти от одного конца к другому, не отрываясь от отрезков. Такой способ соединения и объясняет, почему порядок звеньев важен.

В точке, где заканчивается одно звено и начинается следующее, встречаются два соседних отрезка. Эту общую точку называют вершиной, а каждый из отрезков — звеном. Разделение названий нужно, чтобы точно говорить о строении линии: например, назвать её звенья или указать вершину, в которой они соединяются.

У незамкнутой ломаной остаются две крайние точки, которые не соединены друг с другом; их называют свободными концами. У замкнутой линии таких концов нет, потому что последний отрезок возвращается к начальной точке. Поэтому близость концов сама по себе ничего не решает: важно, соединены ли они и совпадают ли в одной точке.

Замыкают ломаную, проводя последнее звено от её конечной точки к начальной. После этого путь возвращается туда, откуда начался, и образует контур. Добавленный отрезок должен действительно соединить эти точки; если его нет или он не достигает начала, ломаная остаётся незамкнутой.

При подсчёте сначала удобно перечислить звенья по порядку, а затем отметить точки их соединения. У незамкнутой ломаной крайние точки не являются общими точками двух звеньев, а у замкнутой начало и конец совпадают и дают одну вершину контура. Поэтому при счёте нельзя считать совпавшую начальную и конечную точку дважды: способ подсчёта зависит от того, замкнута ли линия.

Сравнение незамкнутой и замкнутой ломаных

Сначала определите, соединены ли крайние точки: это сразу показывает, какая перед вами ломаная. Затем считайте отрезки и точки соединения отдельно, не смешивая звенья с вершинами. В замкнутом контуре начальная и конечная точки совпадают, поэтому при подсчёте вершин это одна точка.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена ломаная из трёх отрезков. Назовите её звенья и вершины и определите, замкнута ли она. Для точного ответа нужно сначала перечислить отрезки в порядке соединения, а затем проверить крайние точки. По условию сказано только, что звеньев три, поэтому конкретные названия точек зависят от обозначений на рисунке.

1. Отметьте каждый из трёх отрезков: каждый из них является одним звеном.
2. Найдите точки, в которых соседние отрезки встречаются; это вершины ломаной.
3. Сравните начальную точку первого звена с конечной точкой последнего: если они совпадают, ломаная замкнута, если нет — не замкнута.

Ответ: звенья — три изображённых отрезка, вершины — точки соединения соседних звеньев; замкнутость определяется совпадением начала и конца. Если на рисунке крайние точки не соединены, ломаная незамкнутая.

Задача 2. Начертите замкнутую ломаную с четырьмя звеньями и обозначьте её вершины. Нужно получить непрерывный контур из четырёх отрезков, а не просто соединённую цепочку. Удобно взять точки A, B, C и D и провести звенья по кругу.

1. Отметьте четыре точки A, B, C и D так, чтобы их можно было соединить по порядку.
2. Проведите отрезки AB, BC и CD; они образуют часть ломаной с началом A и концом D.
3. Добавьте отрезок DA, соединяющий последнюю точку с начальной. Теперь линия замкнута.

Ответ: звенья — AB, BC, CD и DA; вершины — A, B, C и D. Начальная и конечная точки совпали в A, поэтому отдельно ещё раз её не считают.

Задача 3. Ломаная задана точками A, B, C, D, E, соединёнными по порядку. Какое звено нужно добавить, чтобы она стала замкнутой? Сколько звеньев и вершин будет у полученной линии? Сначала учитываем, что имеющаяся цепочка начинается в A и заканчивается в E, а затем соединяем эти крайние точки.

1. Запишите уже имеющиеся звенья по порядку: AB, BC, CD и DE. Всего их четыре.
2. Добавьте отрезок EA: он соединяет конечную точку E с начальной A и замыкает линию.
3. Пересчитайте элементы: добавление EA даёт пять звеньев, а вершины — A, B, C, D и E.

Ответ: нужно добавить звено EA; у полученной замкнутой ломаной пять звеньев и пять вершин.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать звено вершиной или наоборот. Её допускают, потому что отрезок и точка соединения расположены рядом на чертеже. Проверьте себя: звено можно провести или измерить, а вершина — это точка, где сходятся соседние звенья.

Ошибка: считать ломаную замкнутой, если её концы просто близко расположены. Расстояние между концами не означает, что они совпадают или соединены. Проверьте, есть ли общая конечная и начальная точка; если между ними остаётся промежуток, линия не замкнута.

Ошибка: забыть последнее звено от конца ломаной к её началу. Так часто бывает, когда считают, что соединённая цепочка уже образует замкнутый контур. Проверьте, можно ли пройти по звеньям и вернуться в исходную точку без прыжка через промежуток; если нельзя, последнего звена не хватает.

Ошибка: перепутать число звеньев и вершин. Это случается, если считать все элементы линии одинаково, не различая отрезки и точки. Для проверки отдельно пересчитайте отрезки и точки соединения; у замкнутой ломаной совпавшие начало и конец учитывайте как одну вершину.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужно уметь различать точку и отрезок, обозначать их и находить концы отрезка. Эти знания помогают увидеть, какие отрезки соединены и где находятся вершины. Без них трудно правильно назвать звенья и проверить, замкнута ли линия.

Замкнутая ломаная связана с многоугольниками: контур многоугольника образуют отрезки, соединённые в замкнутую линию. Позже это поможет разобраться в периметре — длине границы фигуры. Чтобы вычислить его, складывают длины звеньев, составляющих контур.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями.
• Общие точки соседних звеньев называются вершинами.
• У незамкнутой ломаной есть начало и конец, не совпадающие друг с другом.
• У замкнутой ломаной конец последнего звена совпадает с началом первого.
• Чтобы замкнуть ломаную, нужно соединить её конечную и начальную точки.