ЧИСЛА, КОТОРЫЕ БОЛЬШЕ 1000  (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами. Одна и та же цифра может обозначать разное количество единиц: например, в числе 555 её значения равны 500, 50 и 5. Поэтому место каждой цифры нужно учитывать, чтобы правильно читать число и понимать, сколько оно означает.

Разряд — позиция цифры в записи числа, соответствующая единицам, десяткам, сотням и следующим степеням десяти. Соседние разряды отличаются в десять раз: в одном десятке 10 единиц, а в одной сотне 10 десятков. Разряд помогает определить вклад цифры в число и правильно выполнять вычисления по столбикам.

Класс — группа из трёх разрядов в записи многозначного числа. Запись делят на классы справа налево: сначала идут единицы, затем тысячи, миллионы и далее. Такое деление помогает читать длинные записи группами и не путать, например, тысячи с единицами.

Разрядная единица — единица, десяток, сотня, тысяча и так далее. В записи каждой следующей разрядной единицы на один ноль больше: 1, 10, 100, 1000. Связь с количеством нулей помогает понять, какое значение имеет цифра в данном разряде и как представить число в виде суммы.

Как это устроено

При чтении числа цифры удобно мысленно объединить в классы по три, начиная справа: например, 508 034 — это 508 тысяч и 34 единицы. Внутри каждого класса называют число, а затем его класс, поэтому запись воспринимается частями, а не длинной цепочкой цифр. Если класс целиком состоит из нулей, его обычно не произносят: в числе 5 000 034 читают «пять миллионов тридцать четыре». При записи числа по названию нули обязательны, потому что они удерживают цифры на своих местах.

Сравнение начинают с количества цифр, потому что каждая дополнительная цифра слева означает переход к более крупному разряду: любое пятизначное число больше любого четырёхзначного. Если количество цифр одинаково, разряды сравнивают слева направо — так сразу проверяют самые крупные части чисел. Например, в 682 145 и 679 999 сотни тысяч равны, но в разряде десятков тысяч 8 больше 7, значит, первое число больше. Цифры справа уже не изменят этот вывод.

Разложить число на разрядные слагаемые — значит записать значение каждой его цифры и сложить полученные числа. Например, 508 034 = 500 000 + 8 000 + 30 + 4: слагаемые с нулевых разрядов не записывают, потому что они равны нулю. Обратное действие — по слагаемым восстановить число: каждое слагаемое задаёт цифру в определённом разряде. Если какого-то разряда нет среди слагаемых, его место всё равно нужно сохранить нулём.

При письменном сложении и вычитании одинаковые разряды ставят друг под другом, выравнивая числа справа. При сложении разрядов, если получилось 10 или больше единиц, десяток переносят в следующий разряд: это связано с тем, что 10 единиц образуют 1 десяток. При вычитании, если цифры сверху не хватает, занимают 1 единицу соседнего старшего разряда; она превращается в 10 единиц текущего разряда. Если рядом нули, занимают у ближайшего ненулевого разряда, а промежуточные нули при этом изменяются.

Проверка обратным действием позволяет убедиться, что вычисление согласуется с исходными числами: к разности прибавляют вычитаемое, а из суммы вычитают одно из слагаемых. Например, для проверки вычитания нужно получить исходное уменьшаемое. Оценка по округлённым числам помогает заметить грубую ошибку: если 408 006 и 179 458 округлить примерно до 400 000 и 180 000, разность должна быть около 220 000. Точная разность, сильно отличающаяся от этой оценки, требует повторной проверки.

Чтение, запись и сравнение многозначных чисел

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала определи, что требуется сделать, затем выбери подходящий способ. Для записи и вычислений отдельно проверь положение разрядов и нулей. Для сравнения найди первую цифру, которая отличается, а для проверки вычисления выполни обратное действие.

Разбор задач

Задача 1. Прочитай число 508 034 и укажи, сколько в нём единиц каждого разряда. Сначала делим запись справа налево на классы: 508 — класс тысяч, 034 — класс единиц. Нули означают, что в числе нет десятков тысяч и сотен, но цифры других разрядов остаются на своих местах.

1. Читаем группы: 508 тысяч и 34 единицы, то есть «пятьсот восемь тысяч тридцать четыре».
2. По цифрам разрядный состав такой: 5 сотен тысяч, 0 десятков тысяч, 8 единиц тысяч, 0 сотен, 3 десятка и 4 единицы.
3. Если нужно узнать общее число единиц каждого вида, делим число на соответствующую разрядную единицу: в нём 508 034 единицы, 50 803 десятка, 5 080 сотен, 508 тысяч, 50 десятков тысяч и 5 сотен тысяч.

Ответ: «пятьсот восемь тысяч тридцать четыре»; разрядные цифры — 5, 0, 8, 0, 3, 4. Например, цифра 8 стоит в разряде тысяч, а всего в числе содержится 5 080 сотен.

Задача 2. Запиши число: 7 сотен тысяч, 3 тысячи и 25 единиц. Сравни его с числом 703 250. Сначала расположим указанные количества по разрядам, не забывая оставить пустые места нулями. Затем сравним записи слева направо, а не по сумме отдельных цифр.

1. 7 сотен тысяч дают 700 000, 3 тысячи — 3 000, 25 единиц — 25.
2. Складываем: 700 000 + 3 000 + 25 = 703 025. Нули сохраняют отсутствующие десятки тысяч, сотни и десятки.
3. Сравниваем 703 025 и 703 250: цифры сотен тысяч, десятков тысяч и тысяч совпадают, а в разряде сотен стоит 0 против 2. Поэтому 703 025 < 703 250.

Ответ: число — 703 025, оно меньше 703 250. Разница видна уже в разряде сотен, поэтому сравнивать десятки и единицы дальше не требуется.

Задача 3. Вычисли письменно: 408 006 − 179 458. Проверим результат сложением. При вычитании в разряде единиц 6 меньше 8, а рядом слева стоят нули, поэтому нужно занять единицу у ближайшего ненулевого разряда — сотен тысяч.

1. Записываем числа разряд под разрядом. Занимаем 1 сотню тысяч: 4 становится 3, в разряде десятков тысяч появляется 10; одну десятитысячную единицу передаём тысячам, поэтому десятков тысяч остаётся 9.
2. Тысячи получают 1 и становятся 10; одну тысячу передаём сотням, а оставшиеся нули становятся 9 сотнями, 9 десятками и 16 единицами. Вычитаем по разрядам: 16 − 8 = 8, 9 − 5 = 4, 9 − 4 = 5, 10 − 9 = 1? В разряде тысяч после займа остаётся 0, а здесь нужно учесть разложение: тысячи после займа становятся 9, поэтому 9 − 9 = 0; разность равна 228 548.
3. Проверяем сложением: 228 548 + 179 458 = 408 006. Приблизительная оценка тоже подходит: ответ должен быть около 220 тысяч.

Ответ: 228 548. В цепочке займа особенно важно менять цифры всех затронутых разрядов; проверка сложением подтверждает результат.

Типичные ошибки

Если пропустить ноль внутри класса, цифры сдвинутся по разрядам и получится другое число. Так происходит, когда ученик воспринимает ноль как ненужный знак, а не как место отсутствующего разряда. Проверь себя: разбей запись на классы по три цифры и сверь значение каждой цифры с названием разряда.

Сравнивать числа по отдельным цифрам в произвольном порядке неверно: важнее всего первая слева цифра, которая отличается. Ошибку часто допускают, начиная сравнение с единиц или замечая большую цифру в младшем разряде. Проверь себя, двигаясь слева направо; при разном количестве цифр сначала сравни именно их количество.

Если записать числа для сложения или вычитания без выравнивания, единицы могут оказаться под десятками, а сотни — под тысячами. Это случается, когда ориентируются на край записи, а не на разряд. Проверь себя: поставь запятую? В натуральных числах её нет, поэтому выравнивай последние цифры и убедись, что единицы стоят под единицами.

При займе через нули нельзя изменить только цифру нужного разряда и оставить остальные без внимания. Ошибку допускают, забывая, что единица передаётся из ближайшего ненулевого разряда, а промежуточные разряды преобразуются. Проверь каждое изменение в записи до вычитания, а после вычисления сложи разность с вычитаемым и сравни с уменьшаемым.

Связь с другими темами

Для работы с числами больше тысячи нужны знания о разрядном составе трёхзначных чисел: классы продолжают знакомую последовательность единиц, десятков и сотен. Таблица умножения и правила сложения и вычитания в столбик помогают выполнять действия в каждом разряде. Новые навыки продолжают применяться при чтении и записи ещё больших чисел, а также при решении задач, где нужно складывать или вычитать многозначные числа. Разрядная запись помогает увидеть, из каких частей состоит число, и проверить, разумен ли ответ.

Что запомнить

• Классы в записи числа отделяют пробелами справа налево по три цифры.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• Отсутствующий разряд обозначают цифрой 0.
• При сравнении чисел сначала учитывают количество цифр.
• Если количество цифр одинаково, сравнивают цифры начиная со старшего разряда.
• При письменных вычислениях разряды записывают друг под другом.
• Вычитание можно проверить сложением, а сложение — вычитанием.