Деление многозначного числа на однозначное число

Определения и обозначения

Делимое — многозначное число, которое нужно разделить. В записи 864 : 4 = 216 делимое стоит перед знаком деления: это 864. Оно показывает, какое количество мы распределяем или на сколько равных частей делим.

Делитель — однозначное число, на которое выполняют деление. В записи 864 : 4 = 216 делитель — это 4, он стоит после знака деления. Зная делитель, мы определяем, на сколько равных групп нужно разделить делимое или сколько раз одно число содержится в другом.

Частное — результат деления. В равенстве 864 : 4 = 216 частное равно 216 и показывает, сколько приходится на одну часть или сколько раз делитель содержится в делимом. Если деление выполнено с остатком, частное вместе с остатком описывает результат полностью.

Остаток — число, которое остаётся после деления, если делимое нельзя разделить на делитель без остатка. Например, при делении 17 на 5 получаются частное 3 и остаток 2. Остаток всегда меньше делителя: иначе из него можно было бы выделить ещё одну целую группу.

Как это устроено

Деление многозначного числа выполняют поразрядно, начиная со старшего разряда, то есть с левой стороны записи. Так учитывается разрядная ценность каждой цифры: сотни нельзя смешивать с десятками, а десятки — с единицами. Полученные цифры частного записываются в том же порядке, что и соответствующие разряды делимого. Поэтому письменный способ помогает не только вычислять, но и сохранять правильное место каждой цифры.

Первое неполное делимое выбирают так: берут минимальное число первых цифр делимого, которое не меньше делителя. Неполное делимое — это часть делимого, с которой выполняют очередной шаг деления. Если первая цифра меньше делителя, разделить её на него хотя бы один раз нельзя, поэтому к ней присоединяют следующую цифру. Так первая цифра частного окажется в нужном разряде, а не на месте, где деление ещё не началось.

Чтобы найти очередную цифру частного, выясняют, сколько раз делитель помещается в неполном делимом. Полученное число — неполное частное, то есть очередная цифра результата для рассматриваемого разряда. Цифру можно подобрать по таблице умножения или перебором: умножить делитель на предполагаемую цифру и сравнить произведение с неполным делимым. Произведение не должно быть больше неполного делимого; его вычитают, а разность становится остатком этого шага.

После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого, то есть приписывают её справа. Так к остатку добавляется следующая часть исходного числа, и получается новое неполное делимое для очередного разряда. Одного остатка без этой цифры недостаточно: он относится только к уже рассмотренной части числа. Если полученное новое неполное делимое меньше делителя, очередная цифра частного равна нулю, и её нужно записать, чтобы не сдвинуть разряды.

Действия повторяют, пока не будут использованы все цифры делимого. Остаток, полученный на последнем шаге, записывают отдельно, если он есть; он должен быть меньше делителя. Для проверки умножают делитель на частное и прибавляют остаток. Результат должен совпасть с делимым: делимое = делитель × частное + остаток.

Алгоритм деления многозначного числа на однозначное

Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый шаг начинается с нового неполного делимого и заканчивается вычитанием. Затем переходи к следующей цифре делимого, не пропуская разряды в частном. В конце обязательно проверь остаток и всё равенство целиком.

Разбор задач

Выполнить деление 864 : 4

1. Первая цифра 8 не меньше 4, поэтому начинаем с сотен: 8 : 4 = 2. Записываем 2 в разряд сотен частного и вычитаем 8 − 8 = 0.
2. Сносим цифру десятков 6. Получаем 6 : 4 = 1, потому что 4 помещается в 6 один раз. Вычитаем 6 − 4 = 2 и сносим следующую цифру, 4: новое неполное делимое — 24.
3. Делим 24 на 4, получаем 6, остаток равен нулю. Частное — 216; проверяем: 216 × 4 = 864.

Ответ: 216.

Выполнить деление 7358 : 6 и записать частное и остаток

1. Первая цифра 7 больше 6, значит, первое неполное делимое — 7. Получаем 7 : 6 = 1, вычитаем 6 и остаётся 1; сносим 3, получая 13.
2. 13 : 6 = 2, так как 6 × 2 = 12, а 6 × 3 уже больше 13. Вычитаем 12, остаётся 1, сносим 5 и получаем 15; 15 : 6 = 2, остаток после вычитания 3.
3. Сносим последнюю цифру 8: получаем 38. 38 : 6 = 6, поскольку 6 × 6 = 36; после вычитания остаётся 2. Этот остаток меньше 6, значит, деление завершено правильно.

Ответ: частное 1226, остаток 2. Проверка: 6 × 1226 + 2 = 7358.

Выполнить деление 40 608 : 8

1. Число 4 меньше 8, поэтому берём первые две цифры: 40. 40 : 8 = 5, остаток 0; первую цифру частного записываем в разряде тысяч.
2. Сносим следующую цифру делимого — 6. Получается 6, а это меньше 8, поэтому разделить его на 8 целое число раз нельзя. В частном записываем 0 для разряда сотен, а затем сносим следующую цифру 0.
3. Получилось 60: 60 : 8 = 7, так как 8 × 7 = 56, остаток 4. Сносим последнюю цифру 8 и получаем 48; 48 : 8 = 6, остаток 0.

Ответ: 5076. Проверка: 5076 × 8 = 40 608; ноль в частном сохраняет разряд сотен.

Типичные ошибки

Начинают деление сразу с первой цифры, даже если она меньше делителя. Так первая цифра частного может попасть не в тот разряд, потому что деление фактически ещё не началось. Ошибку допускают, когда смотрят только на цифры, а не на их разрядное значение. Проверь себя: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя, а частное должно начинаться над последней взятой цифрой.

Подбирают слишком большую цифру частного, из-за чего произведение делителя на неё превосходит неполное делимое. Это случается, если цифру выбирают наугад или не проверяют умножением. Перед вычитанием обязательно вычисли произведение. Если оно больше неполного делимого, уменьши цифру частного.

Забывают снести следующую цифру делимого или приписывают её не к остатку. Тогда нарушается порядок разрядов и дальнейшее неполное делимое получается неверным. Обычно так происходит, когда переходят к вычислениям слишком быстро. После каждого вычитания отмечай остаток, затем бери именно следующую ещё не использованную цифру и приписывай её справа.

Не записывают ноль в частном, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Из-за пропущенного нуля остальные цифры смещаются на разряд, и частное становится другим числом. Эту ошибку легко не заметить, если проверить только последние действия. Сверь число цифр и разряды частного; если шаг деления не дал ни одной группы, на этом месте нужен ноль.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны таблица умножения и деления, умение различать разряды многозначного числа и понимание связи умножения с делением. Алгоритм продолжает знакомое деление с остатком однозначных и двузначных чисел: меняется количество шагов, но смысл действий остаётся тем же. Навык пригодится при делении более крупных чисел, вычислениях с величинами и решении текстовых задач. В задачах деление помогает узнать, сколько приходится на одну равную часть или сколько групп заданного размера получится.

Что запомнить

• Деление многозначного числа на однозначное выполняют поразрядно слева направо.
• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую цифру частного проверяют умножением и вычитанием.
• После каждого шага остаток должен быть меньше делителя.
• Если очередное неполное делимое меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают ноль.
• При делении с остатком остаток всегда меньше делителя.
• Проверка выполняется по формуле: делимое = делитель × частное + остаток.