"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
При вычислениях с числами, оканчивающимися нулями, можно использовать их разрядный состав и не выполнять длинные действия с самого начала. Умножение на 10, 100 или 1000 сводится к сдвигу цифр влево, а деление на эти числа — к сдвигу вправо. Круглые числа при умножении сначала умножают без конечных нулей, а при делении сокращают на одинаковое количество нулей. Эти приёмы ускоряют устные и письменные вычисления, если аккуратно следить за разрядами и проверять ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разрядная единица — это число 10, 100, 1000 и так далее. В записи каждой следующей разрядной единицы на один ноль больше: 10 — один десяток, 100 — одна сотня, 1000 — одна тысяча. Это помогает понять, на сколько разрядов перемещаются цифры при умножении и делении.
Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями, например 50, 2400 или 30 000. Конечные нули показывают, что число содержит целое количество десятков, сотен или тысяч. Умение выделять их позволяет упростить вычисления.
Умножение круглых чисел — умножение чисел, у которых есть конечные нули. Сначала перемножают части чисел без этих нулей, а затем учитывают нули, связанные с разрядным составом множителей. Такой порядок помогает не ошибиться в значении произведения.
Деление круглых чисел — деление чисел, оканчивающихся нулями. Если у делимого и делителя убрать одинаковое количество конечных нулей, частное останется прежним. Этот приём нужен, чтобы заменить сложное деление на более простое.
При умножении числа на 10 каждая его цифра получает значение в десять раз большее: единицы становятся десятками, десятки — сотнями. Поэтому цифры как бы сдвигаются влево на один разряд, а справа у целого числа появляется ноль. Умножение на 100 и 1000 повторяет этот сдвиг соответственно два и три раза, поэтому приписывают два или три нуля.
При делении на 10, 100 или 1000 цифры перемещаются в обратную сторону: их разрядные значения уменьшаются в 10, 100 или 1000 раз. Число нулей делителя показывает, на сколько разрядов нужно сдвинуть цифры вправо. Если после такого деления остаётся дробная часть, результат не будет целым; среди натуральных чисел деление будет без остатка, когда делимое делится на разрядную единицу.
У круглого множителя нули связаны с умножением на разрядную единицу. Например, 240 · 30 можно представить как 24 · 10 · 3 · 10. Сначала вычисляют 24 · 3, затем учитывают два множителя 10, то есть умножают результат на 100. Так становится понятно, почему сначала перемножают части без нулей, а затем приписывают все отброшенные нули.
При делении можно разделить делимое и делитель на одно и то же ненулевое число: частное не изменится, потому что оба числа уменьшаются в одинаковое количество раз. Если у обоих чисел есть конечные нули, удобно разделить их на 10 столько раз, сколько нулей можно убрать у каждого. Например, удаление одного нуля у обоих чисел — это деление обоих на 10, а не изменение только одного из них.
Нельзя убирать у делимого больше нулей, чем есть у делителя, если нужно сохранить деление целых чисел нацело и применить этот приём к обоим числам. Сокращать следует одинаковое количество нулей: так делимое и делитель делятся на одну и ту же степень 10. После сокращения нужно выполнить деление и проверить его обратным действием. Если произведение частного на исходный делитель не равно исходному делимому, вычисление неверно.
| Случай | Действие с цифрами | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на 10, 100, 1000 | Сдвинуть цифры влево; у целого числа приписать 1, 2 или 3 нуля | 347 · 100 = 34 700 |
| Деление на 10, 100, 1000 | Сдвинуть цифры вправо на 1, 2 или 3 разряда | 5400 : 100 = 54 |
| Умножение чисел, оканчивающихся нулями | Умножить части без нулей и приписать отброшенные нули | 240 · 30 = 7200 |
| Деление чисел, оканчивающихся нулями | Убрать одинаковое количество конечных нулей | 8640 : 240 = 864 : 24 = 36 |
Сначала найди в примере подходящий случай, затем выполни указанное действие с цифрами. В примерах с делением проверь, что сокращено одинаковое количество нулей и деление можно выполнить. Если в ответе есть сомнения, проверь вычисление обратным действием.
Вычислите 347 · 100. Число 100 — разрядная единица с двумя нулями, поэтому цифры числа 347 перемещаются на два разряда влево. Для целого числа это можно записать как добавление двух нулей справа. Умножать каждую цифру отдельно не требуется.
Ответ: 34 700.
Вычислите 240 · 30. Оба множителя оканчиваются нулями, значит, сначала удобно отделить их части без нулей. У 240 такая часть — 24, а у 30 — 3. После умножения нужно вернуть нули, которые были убраны.
Ответ: 7200. Здесь особенно важно не принять ноль, входящий в результат 24 · 3, за дополнительный отброшенный ноль: приписываем именно два нуля множителей.
Вычислите 8640 : 240 и проверьте результат умножением. Оба числа оканчиваются нулями, и у каждого есть хотя бы один конечный ноль. Уберём по одному нулю у делимого и делителя: это равносильно делению обоих чисел на 10, поэтому частное сохранится.
Ответ: 36. Проверка подтверждает, что сокращение не изменило частное и вычисление выполнено правильно.
При умножении круглых чисел иногда сначала приписывают нули, а затем ещё и умножают как будто их не было. Тогда значение меняется неверно, потому что разрядные множители учитываются дважды. Сначала перемножай части без нулей, а потом считай нули. Для проверки оцени, во сколько раз каждый множитель больше своей части без нулей.
Другая ошибка — приписать к произведению не все конечные нули множителей или посчитать один и тот же ноль дважды. Это происходит, когда нули не подсчитаны заранее или путаются с нулями в самом результате умножения. Запиши количество нулей у каждого множителя и сложи его. Проверить ответ можно примерной оценкой: например, 240 · 30 должно быть больше 24 · 3 в сто раз.
При делении иногда убирают у делимого и делителя разное число нулей. Тогда числа делятся на разные степени десяти, и частное меняется. Сокращай только одинаковое количество нулей, проверяя, что они есть у обоих чисел. После деления умножь частное на исходный делитель и сравни с делимым.
При делении на 10, 100 или 1000 можно механически приписать нули к ответу, хотя здесь цифры сдвигаются вправо, а не влево. Если делимое не делится нацело, может появиться остаток или дробная часть, поэтому ответ не всегда будет целым. Учитывай разряды числа и выполняй деление, не добавляя нули по привычке. Проверка умножением покажет, верно ли найдено целое частное.
Для этой темы нужны знания о разрядном составе многозначных чисел и таблица умножения: без них трудно понять сдвиг цифр и быстро умножить части без нулей. Умножение и деление на разрядные единицы пригодятся для устных вычислений и перевода единиц измерения, например из метров в сантиметры. Сокращение делимого и делителя помогает при письменном делении и при работе с дробями. Во всех этих случаях действует общий принцип: одинаковое изменение связанных чисел сохраняет нужное отношение.
Почему при умножении на 100 к числу приписывают два нуля?
Число 100 — это 10 · 10, поэтому при умножении каждая цифра переходит на два разряда влево. В записи целого числа это обычно означает, что справа добавляются два нуля.
Как умножить два числа, которые оканчиваются нулями?
Сначала умножь части чисел без конечных нулей. Затем припиши к произведению все нули, которые были отброшены у обоих множителей.
Сколько нулей нужно приписать к произведению круглых чисел?
Столько, сколько конечных нулей было у обоих множителей вместе. Например, у 240 два нуля, у 30 один, поэтому к произведению 24 · 3 нужно добавить три нуля.
Можно ли убрать нули у делимого и делителя при делении?
Можно убрать одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя: это значит разделить оба числа на одну и ту же степень числа 10, поэтому частное не изменится. Убрать можно лишь столько нулей, сколько есть у обоих чисел.
Как проверить деление круглых чисел?
Умножь частное на делитель. Если деление было без остатка, произведение должно равняться делимому.
Особые случаи умножения и деления многозначных чисел
