"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Круглые десятки, сотни и тысячи удобно умножать, отделяя их нули от значащей части. Например, умножение на 40 можно заменить умножением на 4 и на 10: сначала найти 23 × 4, затем учесть десяток. Такой приём упрощает вычисления в уме и в столбик. Главное — правильно умножить части без нулей и учесть разрядные единицы обоих множителей, если они круглые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Например, в числе 700 нули показывают, что оно состоит из семи сотен, а в 5000 — из пяти тысяч. Разрядная единица — это единица определённого разряда: десяток, сотня, тысяча и так далее. Понимание этих нулей помогает представить число как произведение удобной части и разрядной единицы.
Круглый десяток — число, кратное 10, то есть число, которое делится на 10 без остатка. Например, 30 — это 3 десятка, поэтому 30 = 3 × 10. Такая запись позволяет при умножении сначала работать с числом 3, а затем учесть множитель 10. Это удобно и для вычислений в уме, и для записи решения.
Круглая сотня — число, кратное 100. Например, 400 состоит из четырёх сотен, поэтому его можно представить как 4 × 100. В такой записи число сотен отделено от разрядной единицы — сотни. Это помогает не выполнять сразу длинное умножение на 400, а разбить действие на два простых шага.
Круглая тысяча — число, кратное 1000. Например, 5000 — это пять тысяч, или 5 × 1000. Значащая часть здесь равна 5, а три нуля показывают умножение на тысячу. Такое представление помогает быстро вычислять произведения и следить за разрядами в ответе.
Умножение на 30, 400 или 5000 можно заменить умножением на 3, 4 или 5 и на соответствующую разрядную единицу. Например, 23 × 40 = 23 × 4 × 10: сначала получается 92, затем 92 × 10 = 920. Причина в том, что 40 — это четыре десятка, а умножить число на четыре десятка — всё равно что взять четыре раза по десять таких чисел. Так вычисление распадается на более простое умножение и понятный сдвиг по разрядам.
Сначала умножают на часть круглого множителя без нулей, потому что именно она сообщает, сколько раз взять исходное число. Нули же обозначают не дополнительные повторения, а разрядную единицу, на которую умножается значащая часть. Так, в 6 × 300 сначала находят 6 × 3 = 18, а затем учитывают, что множитель был не 3, а 3 сотни: ответ 1800. Если сразу смешать оба действия, легче потерять ноль или учесть его дважды.
Число конечных нулей связано с умножением на степень десяти: 10, 100 и 1000 — это 10¹, 10² и 10³. Умножение на 10 переносит каждую цифру на один разряд влево, на 100 — на два, на 1000 — на три; в записи целого числа справа появляются нули. Например, 47 × 100 = 4700. Поэтому количество нулей в круглой части показывает, насколько меняется разрядная запись числа.
В столбик круглый множитель удобно сначала заменить его значащей частью. Например, при умножении 306 на 500 записывают вычисление 306 × 5 и получают 1530, а затем учитывают, что в 500 есть два нуля: 153 000. Можно записать промежуточное умножение в столбик, а после него добавить нули множителя. Такой порядок помогает отдельно проверить умножение цифр и правильность записи разрядов.
Если круглыми являются оба множителя, нужно учесть нули каждого из них. Например, 2400 = 24 × 100, а 3500 = 35 × 100, значит произведение равно 24 × 35 × 100 × 100. Сначала вычисляют 24 × 35 = 840, затем умножают на 10 000 и получают 8 400 000. Четыре нуля от сотен учтены отдельно, а ноль в числе 840 возник при самом умножении частей и тоже остаётся в ответе.
| Множитель | Представление множителя | Что вычислить сначала | Что учесть в записи результата |
|---|---|---|---|
| Круглый десяток, например 30 | 3 × 10 | Исходное число умножить на 3 | Один ноль от множителя 10 |
| Круглая сотня, например 400 | 4 × 100 | Исходное число умножить на 4 | Два нуля от множителя 100 |
| Круглая тысяча, например 5000 | 5 × 1000 | Исходное число умножить на 5 | Три нуля от множителя 1000 |
| Произведение круглых чисел, например 200 × 30 | 2 × 100 и 3 × 10 | Перемножить 2 и 3 | Учесть три нуля обоих множителей |
В таблице сначала найдите круглую часть множителя и запишите её без конечных нулей. Выполните указанное умножение, а затем отдельно проверьте число нулей от разрядных единиц. Для двух круглых множителей нули считают в обоих числах.
Задача 1. Вычислите 23 × 40. Число 40 — это четыре десятка, то есть 4 × 10. Поэтому сначала умножим 23 на 4, а затем учтём десяток.
Ответ: 920. Проверить запись можно оценкой: 23 × 40 больше, чем 23 × 10, и равно четырём десяткам по 23. В ответе один ноль появился из множителя 10.
Задача 2. Вычислите 306 × 500. В числе 500 пять сотен, значит его можно записать как 5 × 100. Сначала найдём произведение 306 на 5, а затем умножим результат на 100.
Ответ: 153 000. При умножении на 100 число сдвигается на два разряда, поэтому добавляются два нуля. Ноль, уже получившийся в числе 1530, также сохраняется: он не заменяет нули от множителя.
Задача 3. Вычислите 2400 × 3500. Оба множителя круглые, поэтому отделим конечные нули каждого числа. В произведении частей без этих нулей появится собственный ноль, и его нельзя путать с нулями от сотен.
Ответ: 8 400 000. В исходных множителях вместе четыре конечных нуля, поэтому к произведению 840 добавляем четыре разряда. Ноль в 840 уже получен при умножении 24 на 35 и остаётся в записи результата.
Первая ошибка — приписать к ответу нули только по круглому множителю, не разобрав оба числа. Это особенно опасно, когда оба множителя круглые: тогда легко забыть нули первого числа. Перед записью ответа выпишите каждый множитель как произведение части без нулей и разрядной единицы, а затем пересчитайте отделённые нули.
Вторая ошибка — неверно умножить части без нулей, например посчитать 306 × 5 как 1535, а потом аккуратно добавить нули. Нули не исправят ошибку в основном произведении, поэтому ответ всё равно будет неверным. Проверьте это вычисление отдельно: 300 × 5 = 1500, а 6 × 5 = 30, вместе 1530.
Третья ошибка — учесть нули круглого множителя дважды: сначала фактически умножить на 40, а после этого ещё приписать ноль. Так, если уже найдено 23 × 40 = 920, добавлять ещё один ноль нельзя. Чтобы не повторять действие, выберите один способ записи: либо умножайте на часть без нулей и добавляйте их после, либо выполняйте полное умножение без повторного добавления.
Четвёртая ошибка — посчитать только нули, отделённые от множителей, и забыть ноль, который появился при умножении оставшихся частей, или наоборот. В примере 24 × 35 = 840 есть собственный конечный ноль, а множители 2400 и 3500 дают ещё четыре нуля. Записывайте промежуточное произведение полностью, а после умножения на разрядные единицы проверяйте порядок ответа оценкой.
Для этого приёма нужно уметь умножать многозначное число на однозначное и выполнять умножение в столбик: именно так находят произведение частей без нулей. Также важно знать разрядный состав числа и понимать, какую величину обозначает цифра в позиции десятков, сотен или тысяч. Навык помогает быстрее считать устно и оценивать порядок произведения. Он пригодится в задачах на стоимость, расстояние и количество предметов, когда известны круглые цена, длина или число одинаковых вещей.
Почему при умножении на 40 можно сначала умножить на 4?
Потому что 40 = 4 × 10. По переместительному и сочетательному свойствам можно вычислить 23 × 4, а затем умножить полученное число на 10.
Когда нужно приписывать нули к результату?
Сначала умножают части множителей без конечных нулей, а затем учитывают разрядные единицы — десятки, сотни или тысячи. При умножении на одно круглое число число добавляемых нулей равно количеству нулей в этом множителе.
Сколько нулей будет в произведении двух круглых чисел?
Число конечных нулей множителей складывают, а затем учитывают нули, которые могли появиться в произведении их частей без нулей. Например, 24 × 35 = 840, поэтому 2400 × 3500 = 840 и ещё четыре нуля, то есть 8 400 000.
Что делать, если в результате умножения частей без нулей уже есть нули?
Нули, получившиеся при умножении частей, сохраняют и отдельно добавляют нули от разрядных единиц множителей. Например, в 24 × 35 уже есть один конечный ноль, а у исходных множителей вместе ещё четыре.
Как проверить, что нули в ответе учтены правильно?
Сосчитайте нули в круглых множителях и убедитесь, что все они учтены после умножения частей без нулей. Затем оцените порядок результата: например, произведение тысяч на тысячи должно быть порядка миллионов.
Умножение на круглые десятки, сотни и тысячи
