"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Движение навстречу друг другу описывает ситуацию, когда два объекта начинают путь с разных концов расстояния и сближаются. Такая модель помогает узнать, когда произойдёт встреча, где она случится и какой путь пройдёт каждый участник. Главное правило: при встречном движении скорости складываются, потому что расстояние между объектами уменьшается сразу за счёт движения обоих. Для решения задачи полезно составить схему, привести величины к одинаковым единицам и проверить результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение навстречу друг другу — движение двух объектов с противоположных концов расстояния, при котором они сближаются. Например, два пешехода идут друг к другу из разных пунктов. Такое определение помогает понять, что в задаче участвуют два направления и одна общая встреча.
Скорость сближения — расстояние, на которое объекты вместе приближаются друг к другу за единицу времени. При встречном движении она равна сумме скоростей: vсбл = v₁ + v₂. Эта величина нужна, чтобы быстро определить, как скоро уменьшится всё расстояние между участниками.
Время встречи — промежуток времени от начала движения до момента, когда объекты встретятся. Обычно его обозначают буквой t и измеряют в часах, минутах или секундах. В задачах это общее время движения обоих объектов, а не отдельное время для каждого.
Расстояние между объектами — путь, который им предстоит преодолеть до встречи. Начальное расстояние обычно обозначают буквой S, а пройденные пути — s₁ и s₂. До встречи сумма этих двух путей равна начальному расстоянию.
При движении навстречу скорости складываются, потому что расстояние сокращается с двух сторон одновременно. Если первый объект за час проходит 4 км, а второй — 5 км, между ними становится на 9 км меньше. Значит, скорость сближения равна v₁ + v₂, а не разности скоростей.
Чтобы найти время встречи по известным расстоянию и скоростям, сначала находят скорость сближения. Затем начальное расстояние делят на неё: t = S : (v₁ + v₂). Деление показывает, сколько одинаковых по длине отрезков сближения содержится во всём расстоянии.
Если известны скорости и время движения до встречи, расстояние между объектами находят через пройденные пути. Первый объект проходит s₁ = v₁ · t, второй — s₂ = v₂ · t. Поэтому начальное расстояние равно сумме: S = v₁ · t + v₂ · t.
Схему движения начинают с двух точек, между которыми подписывают начальное расстояние S. Стрелками показывают направления навстречу друг другу, рядом записывают скорости v₁ и v₂, а между пунктами отмечают точку встречи. Такая схема помогает не перепутать, какой путь относится к каждому объекту.
Ответ проверяют не только вычислениями, но и смыслом задачи. Время до встречи должно быть общим для обоих участников, а сумма их путей — равняться начальному расстоянию. Если один путь получился больше всего исходного расстояния или встреча оказалась за пределами отрезка, значит, в решении есть ошибка.
| Что известно или требуется найти | Обозначение | Как найти |
|---|---|---|
| Скорость первого объекта | v₁ | Задана в условии или находится по формуле v₁ = s₁ : t |
| Скорость второго объекта | v₂ | Задана в условии или находится по формуле v₂ = s₂ : t |
| Скорость сближения | vсбл | vсбл = v₁ + v₂ |
| Начальное расстояние | S | S = vсбл · t или S = s₁ + s₂ |
| Время до встречи | t | t = S : vсбл |
| Путь первого объекта до встречи | s₁ | s₁ = v₁ · t |
| Путь второго объекта до встречи | s₂ | s₂ = v₂ · t |
Сначала определите, какая величина известна, а какую требуется найти. Затем выберите строку таблицы с подходящей формулой и проверьте единицы измерения. Если нужно найти место встречи от первого пункта, используйте путь s₁.
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 18 км. Их скорости равны 4 км/ч и 5 км/ч. Требуется определить время до встречи.
Ответ: пешеходы встретятся через 2 часа.
Из двух деревень, удалённых друг от друга на 42 км, одновременно выехали навстречу велосипедист и мотоциклист. Их скорости равны 12 км/ч и 30 км/ч. Нужно найти расстояние от первой деревни до места встречи.
Ответ: встреча произойдёт в 12 км от первой деревни.
Два автомобиля начали движение навстречу друг другу. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго на 15 км/ч меньше, а через 2 часа между ними осталось 10 км. Требуется найти начальное расстояние.
Ответ: начальное расстояние между автомобилями составляло 220 км.
Вычитают скорости вместо сложения, перенося правило попутного движения на встречное. При движении навстречу каждый объект сокращает расстояние, поэтому скорости складываются. Проверьте себя: если оба участника движутся, расстояние за час должно уменьшаться на сумму их путей.
Делят расстояние на скорость одного объекта и забывают о втором участнике. Из-за этого получается слишком большое время встречи, ведь расстояние уменьшается сразу с двух сторон. Сначала найдите vсбл = v₁ + v₂ и только потом делите на неё расстояние.
Используют километры в час, километры и минуты без перевода единиц. Такая запись делает вычисления несогласованными и меняет ответ во много раз. Перед решением убедитесь, что, например, время переведено в часы при скорости в км/ч.
Считают, что каждый объект проходит всё начальное расстояние. До встречи каждый проходит только свою часть пути, а их сумма равна исходному расстоянию. Проверка проста: сложите найденные пути и сравните результат с S.
Для решения таких задач нужны формулы связи скорости, времени и расстояния: s = v · t, v = s : t, t = s : v. Также важно уметь переводить часы, минуты, километры и метры в согласованные единицы и решать простые уравнения.
Тема помогает решать задачи на движение в противоположных направлениях, навстречу друг другу и на определение места встречи. Схема и формулы превращают условие в понятную математическую модель.
Позже эти приёмы пригодятся в задачах на движение вдогонку и по реке. Отличаться будет правило для изменения расстояния, но связь пути, скорости и времени останется той же.
Почему скорости при движении навстречу складываются?
Каждый объект одновременно уменьшает расстояние между ними. Поэтому за один час расстояние сокращается на путь первого объекта и на путь второго, то есть на сумму их путей.
Как понять, какую скорость считать скоростью сближения?
Скорость сближения показывает, на сколько уменьшается расстояние между объектами за единицу времени. При движении навстречу она равна сумме скоростей участников: v = v₁ + v₂.
Можно ли найти место встречи, не находя сначала время?
Иногда можно составить уравнение сразу через пути участников, но обычно это менее удобно. Надёжнее сначала найти общее время движения, а затем умножить его на скорость нужного объекта.
Что делать, если скорости заданы в километрах в час, а время — в минутах?
Нужно привести единицы к одному виду. Например, минуты перевести в часы: 30 мин = ½ ч, либо скорость перевести в километры в минуту.
Как проверить, что найденное время встречи и место встречи правильны?
У обоих объектов время движения до встречи должно быть одинаковым. Кроме того, сумма пройденных ими расстояний должна совпасть с начальным расстоянием, а место встречи должно находиться между исходными пунктами.
Движение навстречу друг другу
