Измерение тела

Определения и обозначения

Измерение тела — одна из величин, характеризующих его размеры; у прямоугольного параллелепипеда это длина, ширина и высота. Длина, ширина и высота показывают, насколько тело протянуто в трёх взаимно перпендикулярных направлениях. Эти измерения нужны, чтобы описать форму тела и выполнить вычисления.

Объём тела — величина, показывающая, сколько места занимает тело. Чем больше пространства заполнено телом, тем больше его объём. Объём помогает вычислять вместимость коробок, аквариумов и других сосудов.

Единичный куб — куб с ребром, равным единице длины; им измеряют объём. Например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Сравнивая тело с такими кубами, можно понять, сколько единиц объёма в нём помещается.

Единица объёма — объём куба, ребро которого равно соответствующей единице длины, например 1 см³. Поэтому название единицы объёма связано с кубом: сантиметр превращается в кубический сантиметр. Такой способ записи сразу показывает, что измеряется не отрезок, а пространство.

Как это устроено

Для описания прямоугольного параллелепипеда недостаточно одного размера, потому что тело простирается не в одном направлении. Два измерения задают прямоугольное основание, а третье показывает, насколько это основание вытянуто вверх. Поэтому их называют длиной, шириной и высотой, хотя в другой ориентации тела эти названия могут поменяться местами.

Чтобы измерить объём тела единичными кубами, его мысленно или реально заполняют кубиками без промежутков и наложений. Каждый куб занимает одну единицу объёма, поэтому число кубиков показывает объём тела. Такой способ возможен для тел, границы которых позволяют полностью уложить одинаковые кубики.

В одном слое прямоугольного параллелепипеда помещается столько кубиков, сколько составляет площадь его основания. Если длина основания равна a, а ширина b, в слое будет ab кубиков. Таких слоёв по высоте c, поэтому общее число кубиков равно ab · c, то есть V = abc.

Единицы объёма связаны с единицами длины сразу по трём направлениям. В одном дециметре помещается 10 сантиметров, значит, в кубе со стороной 1 дм будет 10 · 10 · 10 = 1000 кубиков со стороной 1 см. Поэтому 1 дм³ = 1000 см³, а не 100 см³.

Составное тело удобно разбить на несколько прямоугольных параллелепипедов, объёмы которых можно вычислить отдельно. Если части не перекрываются, их объёмы складывают. Иногда проще дополнить тело до большого простого параллелепипеда, найти его объём и вычесть объём отсутствующей части.

Измерения и единицы величин

Таблица помогает выбрать нужную величину и формулу. Сначала определите, что требуется найти: размер, площадь поверхности или занимаемое пространство. Затем проверьте единицы и подставьте данные в подходящее выражение.

Разбор задач

Задача 1

Прямоугольный параллелепипед имеет длину 8 см, ширину 3 см и высоту 2 см. Требуется найти его объём. Все измерения уже даны в сантиметрах, поэтому переводить единицы не нужно.

1. Записываем формулу объёма: V = abc.
2. Подставляем данные: V = 8 · 3 · 2 = 48 см³.
3. Проверяем единицу: перемножены три длины, значит, результат выражен в кубических сантиметрах.

Ответ: 48 см³. Здесь произведение 8 · 3 сначала даёт площадь основания 24 см², а умножение на высоту определяет объём всего тела.

Задача 2

Аквариум имеет размеры 40 см × 25 см × 30 см. Нужно узнать, сколько литров воды он вместит при заполнении доверху. Сначала объём получится в кубических сантиметрах, поэтому затем потребуется перевод в литры.

1. Находим объём аквариума: V = 40 · 25 · 30 = 30 000 см³.
2. Используем соотношение 1 л = 1000 см³ и делим 30 000 на 1000.
3. Получаем 30 л.

Ответ: аквариум вмещает 30 л воды. В реальности полезная вместимость может быть меньше, если его не заполняют до самого края, но по условию требуется полный объём.

Задача 3

Тело составлено из двух прямоугольных параллелепипедов объёмами 120 см³ и 84 см³. Части не перекрываются, поэтому ни один участок пространства не посчитан дважды. Чтобы найти объём всего тела, достаточно объединить объёмы его частей.

1. Выбираем сложение, потому что части непересекающиеся: V = V₁ + V₂.
2. Подставляем значения: V = 120 + 84 = 204 см³.
3. Проверяем, что обе величины имеют одинаковые единицы объёма.

Ответ: объём тела равен 204 см³. Если бы части перекрывались, объём общей части пришлось бы вычесть, чтобы не учитывать её дважды.

Типичные ошибки

Умножают только два измерения и получают площадь основания, а не объём. Так происходит, когда забывают про высоту тела. Проверьте себя: в формуле объёма должны присутствовать три длины, а единица ответа должна быть кубической.

Записывают объём в квадратных единицах, например в см². Квадратная единица относится к площади, потому что там перемножаются две длины. Если перемножены длина, ширина и высота, ответ записывают в см³, дм³ или другой кубической единице.

Подставляют в формулу измерения, выраженные в разных единицах. Из-за этого числа нельзя корректно перемножать: например, сантиметры смешиваются с дециметрами. Перед решением переведите все размеры в сантиметры, дециметры или метры.

Считают, что 1 дм³ равен 100 см³. Ошибка возникает потому, что 1 дм = 10 см, но объём учитывает три измерения. Нужно вычислить 10³ = 1000, поэтому 1 дм³ = 1000 см³.

Связь с другими темами

Для измерения объёма нужно знать единицы длины и уметь переводить их друг в друга. Также необходимо находить площадь прямоугольника и выполнять умножение натуральных чисел и десятичных дробей. Эти умения пригодятся при изучении геометрических тел, вместимости сосудов, расхода материалов и других практических расчётов.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота.
• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений: V = abc.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• Перед вычислением измерения приводят к одинаковым единицам.
• 1 дм³ = 1000 см³, а 1 л = 1 дм³.