"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Мозаика — это узор из отдельных фигур, которыми поверхность покрывают без пробелов и наложений. Главная проверка связана с углами: фигуры, встречающиеся в одной точке, должны составить полный угол 360°. Поэтому одинаковые правильные треугольники, квадраты и шестиугольники замощают плоскость, а правильные пятиугольники — нет. Понимание этого правила помогает строить узоры из разных фигур и применять геометрию в дизайне.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мозаика — узор, составленный из отдельных фигур, которые заполняют поверхность без промежутков и наложений. Фигуры могут повторяться или отличаться друг от друга. Это понятие нужно, чтобы описывать не просто красивый рисунок, а геометрически точное покрытие.
Замощение плоскости — покрытие всей плоскости фигурами без пробелов и перекрытий. В повторяющемся узоре элементы могут лишь создавать орнамент, но между ними иногда остаются пустые места. При замощении каждая точка поверхности должна принадлежать какой-либо фигуре, а фигуры не должны заходить друг на друга.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Их удобно изучать, потому что у всех одинаковых фигур один и тот же угол, значит, легко проверить их соединение в вершинах.
Угол многоугольника — величина угла внутри фигуры у одной из её вершин. Именно внутренние углы соседних фигур встречаются в общей точке при замощении. Их сумма показывает, получится ли заполнить место полностью: вокруг точки должен образоваться угол 360°.
Если одну плитку повторять рядом с другими, возникает узор: стороны соседних элементов соприкасаются, а рисунок продолжается. Но одного повторения недостаточно для замощения. Между плитками не должно оставаться пустых участков, и ни одна плитка не должна частично закрывать другую.
В каждой вершине замощения несколько фигур сходятся вокруг одной точки. Полный оборот вокруг точки равен 360°, поэтому углы этих фигур должны в сумме дать именно 360°. Если сумма меньше, появляется клиновидный пробел, а если больше, соседние фигуры пересекаются.
Для одинаковых правильных многоугольников сначала находят величину внутреннего угла, а затем делят 360° на этот угол. Если результат — целое число, столько фигур можно поставить вокруг вершины без зазора. Дробной части быть не может: нельзя расположить, например, 3⅓ одинаковой фигуры в одной точке.
У равностороннего треугольника угол 60°, и 360° : 60° = 6. У квадрата угол 90°, поэтому вокруг точки помещаются 4 квадрата; у правильного шестиугольника угол 120°, и помещаются 3 фигуры. У правильного пятиугольника угол 108°, а 360° : 108° = 3⅓, поэтому одинаковыми пятиугольниками плоскость не замостить.
Более сложные мозаики получают, соединяя разные фигуры или изменяя их контуры. Например, к треугольникам можно добавить шестиугольники, если их углы в общей вершине вместе дают 360°. При изменении контура одна выступающая часть должна точно соответствовать выемке соседней фигуры, чтобы поверхность оставалась заполненной.
| Фигура | Внутренний угол | Сколько фигур сходится в вершине | Можно ли замостить плоскость |
|---|---|---|---|
| Равносторонний треугольник | 60° | 6 | Да |
| Квадрат | 90° | 4 | Да |
| Правильный пятиугольник | 108° | 3⅓, нецелое число | Нет |
| Правильный шестиугольник | 120° | 3 | Да |
Чтобы пользоваться таблицей, найдите фигуру и посмотрите, сколько её углов должно встретиться в одной вершине. Если это целое число и углы дают 360°, фигура подходит для замощения плоскости сама по себе.
Таблица помогает быстро сравнить правильные многоугольники. Для других фигур можно выполнить такую же проверку: вычислить внутренний угол и разделить 360° на него.
Условие. Определите, можно ли без промежутков и наложений покрыть плоскость одинаковыми квадратами.
Ответ: да, одинаковыми квадратами можно замостить плоскость.
Условие. Проверьте, можно ли замостить плоскость одинаковыми правильными восьмиугольниками.
Ответ: нет, одними правильными восьмиугольниками плоскость замостить нельзя.
Условие. Составьте мозаику из одинаковых правильных шестиугольников и равносторонних треугольников. Объясните, почему они сходятся вокруг вершины без пробелов.
Ответ: такая смешанная мозаика возможна, потому что сумма углов в общей вершине равна 360°.
Ошибка — считать, что любую фигуру можно просто многократно повторить. Повторение формы не гарантирует правильного соединения её углов и сторон. Проверьте вершины и участки между соседними фигурами: поверхность должна быть заполнена целиком.
Ошибка — проверять только совпадение сторон и забывать о сумме углов. Даже подходящие по длине стороны могут оставить клиновидный пробел в общей вершине. Сложите все углы вокруг точки и сравните результат с 360°.
Ошибка — не учитывать, что число одинаковых фигур в вершине должно быть целым. Например, результат 3⅓ означает, что третью фигуру нельзя завершить без остатка. После деления 360° на угол обязательно проверьте, нет ли дробной части.
Ошибка — путать мозаику с любым орнаментом. Орнамент может повторяться, но иметь пустые промежутки или элементы, наложенные друг на друга. Для самопроверки мысленно продолжите узор во все стороны и убедитесь, что покрыта вся поверхность.
До изучения мозаик нужно знать виды многоугольников, а также различать их стороны и вершины. Понадобятся навыки измерения углов и понимание полного угла 360°. Эти знания позволяют не запоминать ответ, а проверять его вычислением.
Замощение связано с симметрией и геометрическими преобразованиями: переносом, поворотом и отражением фигур. С их помощью одну плитку можно повторять и располагать в разных направлениях. Так строят регулярные и более сложные узоры.
Идеи замощения применяются в архитектуре, дизайне и декоративном искусстве. Ими пользуются при укладке плитки, создании орнаментов и проектировании покрытий. Геометрические покрытия помогают увидеть практическое применение свойств многоугольников.
Что называют мозаикой в геометрии?
Мозаика — это узор из отдельных фигур, которые покрывают поверхность без промежутков и наложений. Фигуры могут быть одинаковыми или разными.
Почему при замощении углы вокруг одной точки должны составлять 360°?
Вокруг точки находится полный угол, равный 360°. Если сумма углов меньше, останется пробел, а если больше, фигуры наложатся друг на друга.
Можно ли замостить плоскость одинаковыми правильными пятиугольниками?
Нет. Внутренний угол правильного пятиугольника равен 108°, а 360° не делится на 108° нацело, поэтому одинаковые пятиугольники не могут заполнить вершины без пробелов.
Какие правильные многоугольники замощают плоскость по отдельности?
Плоскость можно замостить одинаковыми правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Их углы укладываются вокруг точки соответственно 6, 4 и 3 раза.
Можно ли составить мозаику из разных видов многоугольников?
Да, можно, если фигуры в каждой общей вершине заполняют полный угол 360°, а стороны подходят друг к другу. Так получают более сложные узоры из треугольников, квадратов, шестиугольников и других фигур.
Мозаика
