Путешествие

Определения и обозначения

Путь — расстояние, которое проходит движущийся объект; обычно его обозначают буквой s. Например, путь можно измерить в метрах или километрах. Это понятие помогает описать, сколько дороги уже преодолено или предстоит преодолеть.

Время движения — продолжительность пути; обычно его обозначают буквой t. Время измеряют, например, в секундах, минутах или часах. Оно нужно, чтобы понять, сколько длилось движение и сопоставить его с пройденным расстоянием.

Скорость — расстояние, пройденное за единицу времени; обычно её обозначают буквой v. Например, скорость 60 км/ч означает, что за один час объект проходит 60 километров при равномерном движении. Скорость позволяет сравнивать, насколько быстро движутся разные объекты.

Средняя скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения, включая остановки, если они входят в условие. Её находят для всего маршрута, даже если на отдельных участках скорость менялась. Она показывает общий темп поездки, а не скорость на каждом отдельном участке.

Как это устроено

При равномерном движении за каждую единицу времени объект проходит одинаковое расстояние. Поэтому, чтобы узнать путь за несколько таких единиц времени, скорость умножают на время: s = vt. Если велосипедист проезжает 10 км за час, то за 3 часа он проедет втрое больше — 30 км.

Из формулы s = vt можно получить формулы для скорости и времени. Если известны путь и время, деление пути на время показывает расстояние за одну единицу времени: v = s/t. Если известны путь и скорость, деление пути на скорость показывает, сколько единиц времени потребуется: t = s/v.

Перед вычислением проверь, что единицы величин согласованы. При скорости в километрах в час время нужно выразить в часах, потому что именно за один час задано расстояние; тогда ответ на умножение получится в километрах. Например, 30 минут нужно заменить на 0,5 часа, иначе в вычислении смешаются разные единицы времени.

Если маршрут состоит из нескольких участков, на каждом могут быть свои скорость и время. Сначала вычисли путь на каждом участке по формуле s = vt, используя данные именно этого участка. Затем сложи полученные пути, если требуется расстояние за весь маршрут: так учитывается и изменение условий движения.

Чтобы найти среднюю скорость, нужно разделить общий путь на общее время движения. Для маршрута из нескольких участков сначала складывают пути между собой и отдельно складывают времена; если в условии учитываются остановки, их время тоже входит в общий промежуток. Складывать скорости участков нельзя: они не показывают, сколько всего километров пройдено за всё время.

Величины и формулы для задач о движении

Сначала найди в условии нужную величину и посмотри, какие данные для неё известны. Затем выбери подходящую формулу в таблице и проверь, согласованы ли единицы измерения. Для средней скорости используй общий путь и общее время всего маршрута.

Разбор задач

Задача 1

Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 12 км/ч. Нужно узнать, какой путь он проехал. Здесь известны скорость и время, поэтому подходит формула для нахождения пути.

1. Записываем данные: v = 12 км/ч, t = 3 ч.
2. Используем формулу s = vt, так как расстояние за каждый час одинаково.
3. Вычисляем: s = 12 · 3 = 36 км.

Ответ: велосипедист проехал 36 км.

Задача 2

Автомобиль проехал 180 км за 3 часа, затем ещё 120 км за 2 часа. Требуется найти среднюю скорость за весь путь. Поскольку скорость могла меняться, нельзя определить её за поездку простым сложением скоростей участков.

1. Складываем расстояния: sобщ = 180 + 120 = 300 км.
2. Складываем время: tобщ = 3 + 2 = 5 ч.
3. Делим весь путь на всё время: vср = 300/5 = 60 км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля за весь путь равна 60 км/ч.

Задача 3

Два туриста одновременно вышли из пунктов, расстояние между которыми 36 км, и пошли навстречу друг другу со скоростями 5 км/ч и 4 км/ч. Нужно узнать время до встречи. За каждый час расстояние между ними уменьшается сразу на путь, пройденный обоими туристами.

1. Находим скорость сближения: 5 + 4 = 9 км/ч.
2. Используем расстояние между туристами и скорость сближения: t = s/v.
3. Вычисляем: t = 36/9 = 4 ч.

Ответ: туристы встретятся через 4 часа.

Типичные ошибки

Путают формулы для пути, скорости и времени, потому что в каждой участвуют одни и те же три величины. Если подставить данные не в ту формулу, получится ответ не на тот вопрос. Перед расчётом назови неизвестную величину и выбери равенство, в котором её можно найти.

Иногда путь делят на скорость или умножают величины в неверном порядке. Такая ошибка возникает, если формулу вспоминают без проверки смысла действия. Сверь решение с соотношениями s = vt, v = s/t и t = s/v, а затем проверь единицы ответа.

При вычислении средней скорости некоторые складывают скорости на отдельных участках. Это неверно, потому что средняя скорость определяется общим расстоянием и общим временем, а участки могут длиться по-разному. Сначала сложи пути и времена отдельно, потом раздели общий путь на общее время.

Ещё одна ошибка — не приводить единицы к согласованным. Например, в формуле с км/ч время в минутах нельзя подставить без перевода: результат окажется неверным по величине. Проверь, что часам соответствуют километры, или переведи и скорость, и время в другие согласованные единицы.

Связь с другими темами

Для задач о движении нужно уверенно умножать и делить натуральные числа и дроби. Также пригодится перевод единиц длины и времени, например минут в часы. Эти навыки помогают правильно подставлять данные в формулы.

Связь между путём, скоростью и временем используется в задачах на движение навстречу и вдогонку. В таких задачах важно понять, как меняется расстояние между объектами; например, при движении навстречу скорости складываются для нахождения скорости сближения. Затем применяют формулу времени.

Расчёты движения помогают читать таблицы и графики, где показано изменение пути со временем. По ним можно сравнивать этапы маршрута и оценивать скорость. Те же вычисления пригодятся при планировании поездок и оценке времени в пути.

Что запомнить

• При равномерном движении s = vt.
• Скорость находят делением пути на время: v = s/t.
• Время находят делением пути на скорость: t = s/v.
• Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время.
• Величины в одной формуле должны быть выражены в согласованных единицах.