"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Когда художник смешивает краски, важно знать не только их количество, но и соотношение цветов: от него зависит оттенок. Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть составляет от неё. Равенство двух отношений называют пропорцией. С её помощью можно пересчитать рецепт смеси, если краски стало нужно больше или меньше, а также найти неизвестное количество. Главное — соблюдать порядок записи, приводить величины к одинаковым единицам и проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух величин — частное, показывающее, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть составляет от неё. Отношение чисел a и b записывают a : b или a / b и находят делением a на b. Оно помогает сравнивать количества, например определять, сколько синей краски приходится на белую.
Пропорция — равенство двух отношений. Её записывают, например, так: a : b = c : d, и читают: «отношение a к b равно отношению c к d». Пропорция нужна, чтобы выразить равенство двух соотношений и пересчитать величины, сохранив это соотношение.
В записи a : b = c : d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними членами. Крайние стоят по краям записи, средние — между ними. Такое расположение важно помнить, чтобы правильно применить свойство пропорции и найти неизвестное число.
Чтобы сравнить количества красок, сначала решают, какое количество будет первым, а какое вторым. Например, отношение синей краски к белой записывают как количество синей, делённое на количество белой. Порядок нужен потому, что отношение отвечает на конкретный вопрос: перестановка чисел изменит смысл сравнения. Поэтому полезно проговаривать запись словами.
Деление имеет смысл только при согласованных единицах измерения. Например, нельзя напрямую сравнить 1 метр и 20 сантиметров как числа 1 и 20: это одна и та же длина, записанная разными мерами. Переводим метры в сантиметры и получаем отношение 100 : 20 = 5. Значит, первая длина в пять раз больше второй.
Если два отношения равны, их можно записать в виде пропорции. Например, 2 : 3 = 4 : 6 — это пропорция, потому что обе дроби равны ⅔. Проверить запись можно, вычислив оба отношения или перемножив крайние и средние члены. Если произведения совпали, равенство отношений верно.
Основное свойство пропорции следует из равенства дробей: если a / b = c / d, то при умножении обеих частей на b·d получаем a·d = b·c. Значит, произведение крайних членов равно произведению средних. Это удобно, когда один член неизвестен: вместо сравнения дробей составляют равенство произведений и решают его делением.
При увеличении смеси в несколько раз каждый компонент нужно увеличить во столько же раз, иначе изменится их соотношение и оттенок. Если известны количества одного цвета в исходном рецепте и новой смеси, составляют пропорцию для второго цвета. После вычисления можно проверить, сохранилось ли отношение компонентов. Для этого делят новые количества друг на друга и сравнивают результат с исходным отношением.
| Понятие или свойство | Запись | Что показывает или как применяется |
|---|---|---|
| Отношение величин | a : b = a / b | Сравнение первой величины со второй |
| Порядок членов отношения | a : b ≠ b : a | Порядок задаётся вопросом задачи |
| Пропорция | a : b = c : d | Равенство двух отношений |
| Крайние и средние члены | a и d — крайние; b и c — средние | Расположение членов в пропорции |
| Основное свойство пропорции | a·d = b·c | Проверка пропорции и вычисления |
| Нахождение неизвестного члена | a : b = c : x; x = b·c/a | Неизвестное находят из равенства произведений |
В таблице сначала найдите нужное понятие, затем сверьте запись и её смысл. Для проверки пропорции удобно сравнить произведения крайних и средних членов. Если ищете неизвестное, составьте равенство произведений и выразите из него нужный член.
Для рисунка смешали 2 части синей краски и 3 части белой. Нужно записать отношение количества синей краски к белой и объяснить его смысл. Важно сохранить порядок из вопроса: сначала синяя, затем белая. Части здесь можно сравнивать как одинаковые единицы количества.
Ответ: 2 : 3; синей краски взяли две трети количества белой.
В исходном соотношении на 4 части жёлтой краски приходится 7 частей красной. Жёлтой взяли 12 частей; требуется найти красную так, чтобы оттенок не изменился. Количество жёлтой увеличили в 3 раза, поскольку 12 / 4 = 3. Значит, количество красной тоже нужно увеличить в 3 раза.
Ответ: потребуется 21 часть красной краски.
На один набор берут 180 мл белой и 120 мл синей краски. Для занятия нужно приготовить 750 мл такой же смеси. Сначала найдём, сколько частей всего составляет исходный набор: 180 + 120 = 300 мл. В новой смеси доли цветов должны остаться прежними, поэтому каждый объём увеличится в одинаковое число раз.
Ответ: нужно взять 450 мл белой и 300 мл синей краски.
Перепутан порядок членов отношения. Например, вместо отношения синей краски к белой записывают белую к синей. Так бывает, если сразу выписать числа, не прочитав, что именно сравнивают. Перед вычислением назовите первую величину, затем вторую; после этого проверьте, отвечает ли запись на вопрос задачи.
Сравнивают величины в разных единицах. Например, записывают отношение метров к сантиметрам, не переводя меры. Из-за этого сравниваются не сами длины, а числа, зависящие от выбранных единиц. Приведите обе величины к одной мере и только затем составьте отношение.
Путают крайние и средние члены. В пропорции a : b = c : d крайними являются a и d, средними — b и c. Ошибка часто возникает, если перемножать соседние числа вместо членов, стоящих напротив друг друга. Отметьте положение чисел в записи и проверьте, что произведение крайних приравнено к произведению средних.
Не проверяют найденное значение. Даже правильные действия можно выполнить с ошибкой в вычислениях или при записи пропорции. Подставьте ответ в исходное равенство отношений и сравните полученные отношения. Затем оцените результат по условию: количества не должны быть отрицательными, а общий объём смеси должен совпадать с заданным.
Для работы с отношениями нужно уметь делить натуральные числа и переводить величины в одинаковые единицы измерения. Эти навыки помогают верно сравнивать количества и составлять пропорции. Позже отношения и пропорции пригодятся при изучении масштаба, процентов, подобных фигур и задач на прямую пропорциональность. Во всех этих случаях важно понять, какие величины сравнивают и как меняются они вместе.
Что показывает отношение двух величин?
Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть от неё составляет. Его находят делением первой величины на вторую.
Почему порядок чисел в отношении важен?
При перестановке чисел получится обратное отношение. Например, 2 : 3 показывает, сколько синей краски приходится на белую, а 3 : 2 — сколько белой приходится на синюю.
Можно ли составить отношение величин, записанных в разных единицах?
Сначала нужно выразить величины в одинаковых единицах. Иначе деление будет сравнивать разные меры, и отношение получится неверным.
Как быстро проверить, верна ли пропорция?
Перемножьте крайние члены и отдельно средние. Если произведения равны, пропорция верна.
Как найти неизвестный член пропорции?
Используйте основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних. Составьте равенство произведений и разделите на известный множитель.
В изостудии
