"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Многоквартирный дом — здание, в котором живут несколько семей, а помещения распределены по этажам и подъездам. Его устройство можно описывать с помощью математических моделей: считать квартиры, находить число этажей или подъездов и определять расположение квартиры. Для этого нужны умножение, деление и внимательное чтение условий. Главное — выяснить, одинаково ли устроены подъезды и сколько квартир приходится на каждый этаж.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоквартирный дом — здание, в котором находятся две или более самостоятельные квартиры. В математических задачах его часто описывают через число подъездов, этажей и квартир на этаже. Такая модель помогает заменить длинное описание несколькими величинами и понять, какие данные нужны для расчёта.
Подъезд — часть дома с отдельным входом и общими лестницей или лифтом. Число подъездов обозначим N. Это обозначение полезно, когда требуется посчитать квартиры во всём доме и подъезды устроены одинаково.
Этаж — один уровень здания, а квартира — отдельное жилое помещение. Число этажей в подъезде обозначим F, число квартир на каждом этаже — K. Эти обозначения нужны, чтобы записать короткую формулу: в одном одинаковом подъезде F × K квартир, а во всём доме — N × F × K.
Математическая модель — упрощённое описание реального объекта с помощью чисел и связей между ними. В модели можно считать подъезды одинаковыми, если условие это позволяет. Такое упрощение делает задачу решаемой, но его нельзя применять, если в разных подъездах различается число этажей или квартир.
Чтобы найти количество квартир, сначала выясняют, какие части дома повторяются. Если подъезды одинаковы, удобно рассмотреть один: число этажей умножают на число квартир на каждом этаже. Умножение подходит потому, что одинаковое количество квартир повторяется на каждом этаже. Например, при F этажах и K квартирах на этаже получится F × K квартир в одном подъезде.
Для всего дома результат умножают на число одинаковых подъездов. Это снова умножение: число квартир в одном подъезде повторяется N раз. Поэтому формула общего количества имеет вид N × F × K. Если подъезды неодинаковы, нельзя просто умножить число квартир в первом подъезде на их общее количество: нужно отдельно посчитать квартиры в каждом и сложить результаты.
Если известно общее число квартир, а требуется узнать число этажей, используют обратное действие. Сначала общее количество делят на число подъездов, чтобы найти количество квартир в одном подъезде, затем делят на число квартир на этаже. Деление имеет смысл лишь при подходящих данных: число квартир на этажах должно быть одинаковым, а частное — целым числом. Остаток подсказывает, что предположение о строении дома может быть неверным.
По номеру квартиры иногда требуется определить подъезд или этаж. Для этого сначала находят, сколько квартир приходится на один подъезд, а затем устанавливают, в какой диапазон номеров попадает нужная квартира. Чтобы определить этаж, сравнивают номер с количеством квартир на этаже. Такой способ работает, только если нумерация идёт последовательно и одинаково во всех подъездах; это условие нужно проверить до вычислений.
Таблица помогает разложить сложное условие на части. В ней можно записать количество этажей, квартир на этаже и квартир в подъезде для каждого подъезда. После заполнения проще увидеть, одинаковы ли подъезды и какие значения осталось найти. Табличная запись особенно полезна, когда в задаче несколько вариантов или часть данных дана словами.
| Что считаем | Данные | Действие | Результат |
|---|---|---|---|
| Квартиры в одном подъезде | F этажей, K квартир на этаже | F × K | F × K квартир |
| Квартиры во всём доме | N одинаковых подъездов | N × F × K | N × F × K квартир |
| Этажи в подъезде | Общее число квартир A, K квартир на этаже | A ÷ K | Число этажей, если деление точное |
Сначала выберите строку, которая соответствует вопросу задачи, и подставьте известные числа вместо обозначений. Если нужно найти неизвестную величину, используйте обратное действие и проверьте, что деление даёт целое число. Формулы в таблице предполагают одинаковое устройство подъездов и равное число квартир на каждом этаже.
Условие. В доме 4 одинаковых подъезда, в каждом по 6 этажей. На каждом этаже каждого подъезда расположено 3 квартиры. Сколько квартир в доме? Сначала нужно выяснить, сколько квартир приходится на один подъезд, а затем учесть остальные подъезды. Такой порядок помогает не перепутать, какое число относится к этажам, а какое — ко всему зданию.
Запишем данные: N = 4 подъезда, F = 6 этажей в подъезде, K = 3 квартиры на этаже. Подъезды одинаковые, поэтому можно применить одну и ту же модель к каждому из них. Вопрос задачи — найти общее число квартир, а не число квартир на одном этаже или в одном подъезде.
Найдём квартиры в одном подъезде: 6 × 3 = 18. Мы умножаем число этажей на количество квартир на каждом, потому что по 3 квартиры повторяются на каждом из 6 этажей. Значит, в одном подъезде 18 квартир.
Найдём квартиры во всём доме: 18 × 4 = 72. Число 18 повторяется для каждого из четырёх одинаковых подъездов, поэтому снова используем умножение. Можно также записать один общий расчёт: 4 × 6 × 3 = 72.
Проверим смысл результата. На этаже во всём доме 4 × 3 = 12 квартир, а таких этажей в каждом подъезде шесть; расчёт по подъездам уже учёл все повторения. Число 72 целое и больше числа квартир в одном подъезде, что согласуется с условием.
Ответ: в доме 72 квартиры.
Разберём обратный вопрос на тех же данных: сколько этажей в одном подъезде, если в доме 72 квартиры, 4 одинаковых подъезда и по 3 квартиры на этаже? Сначала находим количество квартир в одном подъезде: 72 ÷ 4 = 18. Затем делим 18 на 3 и получаем 6 этажей; точное деление подтверждает, что числа согласуются с моделью.
Ошибка: умножить только число этажей на число подъездов и назвать результатом количество квартир. Так происходит, если забыть, что на каждом этаже расположено несколько квартир. Перед вычислениями проверьте, учтены ли все три величины: подъезды, этажи и квартиры на этаже.
Ошибка: считать, что подъезды одинаковы, хотя условие этого не сообщает или прямо говорит об обратном. Умножение квартир в одном подъезде на число подъездов тогда даёт неверный результат. Сверьте описание каждого подъезда; если данные различаются, посчитайте квартиры отдельно и сложите.
Ошибка: при обратном расчёте получить дробное число этажей и записать его как ответ. Обычно это означает, что деление выполнено не в том порядке, числа прочитаны неверно или принята неподходящая модель. Проверьте, сначала ли найдено число квартир в одном подъезде, и объясните, почему остаток возможен или невозможен по условию.
Ошибка: определить этаж по номеру квартиры, не выяснив порядок нумерации. Номера могут присваиваться по-разному, поэтому один лишь номер не всегда указывает этаж. Проверьте условие о последовательности нумерации и количестве квартир на этаже; если этих данных нет, точное определение может быть невозможно.
Задачи о доме закрепляют смысл умножения как сложения одинаковых групп: квартиры на этажах и в подъездах образуют такие группы. Деление помогает выполнять обратный расчёт — находить неизвестное число этажей или подъездов. Таблица и буквенные обозначения связывают практическое описание с выражениями и простыми формулами. Проверка делением и обратным умножением развивает навык контролировать вычисления.
Многоквартирный дом
