"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовую задачу можно решать не одним, а несколькими способами. Для этого нужно понять условие, установить связи между величинами, выбрать неизвестное и представить рассуждение в виде действий, схемы, таблицы или уравнения. Арифметический способ ведёт к ответу через последовательность вычислений, алгебраический использует букву и равенство. Все правильные способы приводят к одному ответу, но могут отличаться краткостью и удобством проверки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — это описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены связи. Например, в задаче могут быть указаны количество карандашей и разница между количествами. Такое определение помогает понять, какие данные нужно использовать, а что требуется найти.
Краткая запись задачи — компактное представление условия с помощью чисел, обозначений и названий величин. В ней можно записать известные данные, отношения «больше», «меньше», «всего», а также вопрос. Краткая запись нужна, чтобы быстро увидеть главное и не перепутать величины.
Способ решения задачи — выбранный порядок рассуждений и действий, который приводит от условия к ответу. Один и тот же результат можно получить вычислениями, уравнением, схемой или таблицей. Понятие способа помогает сравнивать решения и выбирать наиболее удобное.
Проверка решения — установление соответствия полученного ответа условию и требованию задачи. Для этого подставляют найденные значения в исходные связи и проверяют единицы измерения. Проверка обнаруживает ошибки в вычислениях и показывает, действительно ли найден ответ на заданный вопрос.
Одну задачу можно решить несколькими способами, потому что одни и те же связи между величинами допускают разные цепочки рассуждений. Например, неизвестное можно найти сначала через общую величину, а можно сразу обозначить буквой и составить уравнение. Ответ при этом не меняется: меняется только путь к нему.
Сначала отделяют условие от вопроса задачи. Из условия выписывают известные величины, определяют неизвестные и уточняют, что именно требуется найти: число, стоимость, время, длину или другую величину. Такой порядок нужен, чтобы не начать вычисления, которые отвечают не на поставленный вопрос.
Краткая запись, схема и таблица показывают отношения между величинами нагляднее, чем сплошной текст. На схеме можно увидеть части и целое, разницу или направление движения, а в таблице — сопоставить несколько величин. Благодаря этому легче выбрать действие, формулу или неизвестное для уравнения.
В арифметическом способе неизвестное находят последовательностью действий, каждое из которых объясняется условием. В алгебраическом способе неизвестное обозначают буквой и составляют равенство, отражающее связь между данными и неизвестным. Арифметическое решение часто проще для небольших задач, а уравнение удобно, когда зависимость сложнее или нужно получить общий способ рассуждения.
Разные правильные решения должны приводить к одному ответу, поскольку описывают одну и ту же ситуацию. Сравнивать их можно по понятности объяснения, количеству действий и удобству проверки. Лучший способ не обязательно самый короткий: он должен быть ещё и обоснованным, чтобы другой человек мог понять ход решения.
| Способ решения | Основная идея | Что записывают | Когда удобно применять | Как проверить |
|---|---|---|---|---|
| Арифметический | Находят неизвестное последовательностью действий | Пояснения и вычисления | Когда связи между величинами легко выразить действиями | Проверяют каждое действие и подставляют ответ в условие |
| Алгебраический | Обозначают неизвестное и составляют равенство | Букву, уравнение и его решение | Когда неизвестное связано с несколькими величинами | Подставляют корень уравнения в исходное равенство |
| С помощью схемы или рисунка | Изображают части, целое и отношения между ними | Отрезки, стрелки, условные обозначения | Когда нужно наглядно увидеть структуру задачи | Сверяют длины и отношения на схеме с условием |
| Составление таблицы | Располагают данные по величинам и объектам | Строки, столбцы и нужные зависимости | В задачах на движение, работу, стоимость и производительность | Проверяют единицы и связь данных в каждой строке |
| Сравнение двух способов | Сопоставляют разные пути к одному результату | Два решения и общий ответ | Чтобы выбрать более понятный или рациональный путь | Убеждаются, что ответы совпадают и оба решения верны |
Сначала определите, какие величины есть в задаче и как они связаны. Затем выберите строку, подходящую к этой структуре, и проверьте полученный результат указанным способом.
Если один метод оказался громоздким, сравните его с другим. Совпадение ответов после проверки подтверждает правильность решений, но не заменяет объяснение каждого шага.
В двух коробках 48 карандашей, причём в первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Нужно найти количество карандашей в каждой коробке. Сначала удобно найти количество карандашей без разницы, а затем распределить эту разницу между коробками.
Ответ: в первой коробке 27 карандашей, во второй 21 карандаш. Проверка: 27 + 21 = 48, а 27 − 21 = 6.
Расстояние между городами равно S, скорости автомобилей — v₁ и v₂. Автомобили выехали одновременно навстречу друг другу, поэтому расстояние между ними уменьшается со скоростью v₁ + v₂. Требуется найти время до встречи.
Ответ: время до встречи равно S : (v₁ + v₂). Оба способа дают одну формулу, потому что описывают одно и то же расстояние, пройденное двумя автомобилями.
Периметр прямоугольника равен 34 см, а длина на 5 см больше ширины. Нужно найти площадь. Схема показывает, что половина периметра равна сумме длины и ширины: 34 : 2 = 17 см.
Ответ: ширина 6 см, длина 11 см, площадь 66 см². Альтернативное рассуждение по половине периметра сразу приводит к тем же двум сторонам.
Начинают выполнять действия до выяснения вопроса и связей между величинами. Так можно найти промежуточное число и принять его за ответ, хотя задача спрашивает о другом. Проверьте себя: сформулируйте вопрос своими словами и подпишите, что означает каждое вычисление.
Смешивают величины или их единицы измерения, например складывают расстояние со скоростью. Такая операция не имеет смысла, потому что величины измеряются по-разному. Перед вычислением убедитесь, что складываете однородные величины, а единицы приведены к одному виду.
Составляют действие или уравнение, не отражающее условие. Ошибка возникает, если неверно выбрано неизвестное или перепутано направление зависимости «больше» и «меньше». Прочитайте равенство словами и проверьте, совпадает ли оно с текстом задачи.
Считают два разных ответа доказательством разных решений и не выполняют проверку. На самом деле правильные способы должны дать один результат, а несовпадение обычно означает ошибку. Подставьте ответы в исходное условие и проверьте их смысл.
До изучения темы нужны смысл арифметических действий, порядок действий, единицы измерения, краткая запись, схемы и простые уравнения. Эти умения позволяют переводить текст в математические действия.
Дальше выбор способа пригодится в задачах на движение, работу, проценты и зависимости между величинами. Один и тот же подход помогает решать их арифметически, по таблице или с помощью уравнения.
Тема связана с математическим моделированием: жизненную ситуацию можно представить словами, схемой, таблицей, выражением или уравнением. Каждая такая модель подчёркивает разные связи между величинами.
Как понять, что два решения действительно являются разными способами?
Решения являются разными, если в них различается порядок рассуждений или используемая модель: например, действия и уравнение. При этом оба решения должны опираться на одно условие и приводить к одинаковому ответу.
Можно ли выбирать любой неизвестный для обозначения буквой?
Да, можно обозначить любую неизвестную величину, если ясно указать, что означает буква. Уравнение должно быть составлено с учётом выбранного обозначения, а найденные значения нужно связать с вопросом задачи.
Почему при разных способах решения получается один и тот же ответ?
Разные способы используют одни и те же связи между величинами, поэтому описывают одну и ту же ситуацию. Если рассуждения правильны, результат совпадает.
Обязательно ли составлять краткую запись или схему?
Не всегда, но краткая запись, схема или таблица помогают не потерять данные и увидеть зависимость между величинами. В сложной задаче они особенно полезны для выбора способа решения.
Какой способ решения считать самым удобным?
Удобен тот способ, который понятен, правильно обоснован, не содержит лишних действий и легко проверяется. Иногда это арифметическое решение, а иногда — уравнение, схема или таблица.
Решение задачи разными способами
