Утверждение верно или неверно

Определения и обозначения

Утверждение — повествовательное предложение, которому можно приписать значение «истина» или «ложь». Например, фраза «7 больше 5» является утверждением. Вопрос «Сколько будет 7 + 5?» и просьба «Посчитай 7 + 5» утверждениями не являются: они не сообщают факт, который можно оценить как верный или неверный.

Истинное утверждение соответствует математическим фактам. Его истинность можно подтвердить вычислением, определением или известным свойством. Например, равенство 3 + 4 = 7 истинно, потому что результат вычисления равен 7. Это понятие помогает отличить проверенное знание от предположения.

Ложное утверждение противоречит математическим фактам. Чтобы установить его ложность, достаточно найти случай, в котором сказанное не выполняется. Например, фраза «все натуральные числа больше 10» ложна: число 5 — натуральное, но не больше 10. Такой подход позволяет проверять и общие правила.

Контрпример — конкретный объект или случай, который опровергает общее утверждение. Если говорится, что свойство верно для всех объектов, один случай без этого свойства показывает, что правило неверно. Контрпример должен подходить под условие утверждения, иначе он ничего не опровергает. Поэтому его удобно подбирать и проверять внимательно.

Как это устроено

Сначала выясни, сообщает ли предложение факт. Вопрос «Число 8 чётное?» и просьба «Назови чётное число» не утверждают, что именно так обстоит дело, поэтому значения истинности у них нет. А предложение «Число 8 чётное» можно проверить. Это различие важно, чтобы не пытаться доказывать или опровергать то, что утверждением не является.

Числовое утверждение о конкретном вычислении проверяют самим вычислением или известным свойством чисел. Например, чтобы оценить запись 15 : 3 = 5, можно выполнить деление и сравнить результат с правой частью. Если обе части совпали, утверждение истинно; если нет — ложно. Вычисление заменяет догадку проверяемым основанием.

Общее утверждение часто проверяют на нескольких простых примерах, чтобы заметить закономерность или найти ошибку. Однако совпадение в этих случаях ещё не доказывает, что закономерность работает всегда: примеры охватывают только выбранные числа. Например, первые несколько чисел могут подходить под правило, а следующее — нет. Поэтому проверка примерами полезна для поиска идеи, но не заменяет доказательство.

Если утверждение имеет вид «для всех», ищи случай, который подходит под его условие, но не обладает названным свойством. Такой контрпример сразу показывает, что универсальное правило неверно. Начать удобно с небольших чисел, нуля или единицы, если они допустимы условием: простые случаи легче проверить. Не забудь убедиться, что найденный объект действительно входит в рассматриваемый набор.

Чтобы доказать истинность общего утверждения, нужно рассуждение, которое действует не для одного выбранного примера, а для любого подходящего объекта. В доказательстве опираются на определения и свойства, связывая их логическими шагами. Например, можно представить число через множитель и преобразовать запись так, чтобы нужное свойство стало очевидным. Примеры помогают понять утверждение, но обосновать его должны общие рассуждения.

Как проверять утверждения

Сначала определи, о каком типе утверждения идёт речь: о конкретном случае, обо всех объектах или хотя бы об одном. Затем выбери способ проверки из таблицы и следи, чтобы пример удовлетворял условию. Для правила «для всех» пример может опровергнуть его, но не доказать.

Разбор задач

Задача 1. Определите, истинно ли утверждение: «Число 12 делится на 3». Нужно проверить, существует ли целое число, при умножении которого на 3 получится 12. Это можно сделать делением или сравнением с кратными числами. Выполним проверку и оценим результат.

1. Делим 12 на 3: получаем 4.
2. Число 4 — целое, поэтому 12 = 3 · 4.
3. Значит, 12 делится на 3 без остатка, и утверждение верно.

Ответ: утверждение истинно. Проверка сработала, потому что деление дало целое число; это соответствует определению делимости. Если бы результат не был целым, утверждение о делимости оказалось бы ложным.

Задача 2. Верно ли, что каждое чётное число делится на 4? Слова «каждое число» означают, что правило должно выполняться для всех чётных чисел. Чтобы опровергнуть его, достаточно найти чётное число, которое на 4 без остатка не делится. Проверим простой подходящий пример.

1. Число 6 чётное, так как делится на 2: 6 = 2 · 3.
2. При делении 6 на 4 получаем 1 и остаток 2, значит, 6 на 4 без остатка не делится.
3. Число 6 удовлетворяет условию «чётное», но не обладает указанным свойством.

Ответ: утверждение неверно. Число 6 — контрпример, и второго такого случая искать не требуется: правило обещало делимость для всех чётных чисел. Контрпример опровергает именно это общее обещание.

Задача 3. Докажите: если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3. По определению делимости исходное число можно записать как произведение 6 на натуральное число. Нужно преобразовать эту запись так, чтобы увидеть множитель 3 и подтвердить делимость на 3.

1. Обозначим натуральное число через n. Если оно делится на 6, то n = 6k для некоторого натурального k.
2. Представим 6 как 3 · 2 и подставим: n = 6k = 3 · 2k.
3. Так как 2k — натуральное число, n представлено как произведение 3 на натуральное число.

Ответ: утверждение доказано: n делится на 3. Рассуждение подходит для любого натурального n, делящегося на 6, потому что использует только определение делимости. Здесь не требуется проверять числа по одному.

Типичные ошибки

Ошибочно принимать вопрос или просьбу за утверждение. Это происходит потому, что в них могут встречаться математические слова и числа, но сами предложения не сообщают, что верно. Проверь себя: можно ли ответить на фразу только значением «истина» или «ложь»? Если перед тобой вопрос или побуждение, оценивать его истинность нельзя.

Нельзя считать общее утверждение доказанным после проверки нескольких примеров. Часто выбранные случаи кажутся убедительными, потому что в каждом правило сработало, но непроверенных объектов остаётся много. Чтобы проверить себя, спроси: рассмотрены ли все случаи? Если нет, примеры лишь поддерживают предположение, а не доказывают его.

Ещё одна ошибка — пытаться опровергнуть правило «для всех» множеством примеров. Она возникает из-за желания собрать больше наблюдений, хотя достаточно одного подходящего контрпримера. Проверь, выполняется ли условие общего правила для найденного объекта и действительно ли свойство нарушено. Если обе проверки пройдены, дополнительные контрпримеры не нужны.

Отдельный пример также нельзя выдавать за доказательство общего утверждения. Он подтверждает правило только для одного объекта, даже если выбранное число выглядит типичным. Перед ответом уточни, требуется проверить конкретный случай или обосновать свойство для всех случаев. Для общего доказательства нужны определения, свойства или рассуждение, применимое к любому допустимому объекту.

Связь с другими темами

Для проверки утверждений нужны вычислительные навыки и умение пользоваться определениями и свойствами чисел. Например, без определения делимости трудно понять, достаточно ли того, что частное оказалось целым, и почему запись числа в виде произведения помогает доказательству. Эти же приёмы пригодятся при изучении доказательств и теорем. Поиск контрпримеров помогает проверять условия задач и замечать, когда общее правило сформулировано слишком широко.

Что запомнить

• Утверждение — предложение, которому можно приписать истинность или ложность.
• Утверждение может быть истинным или ложным.
• Проверка нескольких примеров не доказывает общее утверждение.
• Чтобы опровергнуть утверждение «для всех», достаточно одного контрпримера.
• Истинность общего утверждения нужно обосновать для всех подходящих случаев.
• Для проверки утверждения можно использовать определения, свойства и вычисления.