Куб и квадрат

Определения и обозначения

Квадрат числа — это произведение числа на себя; его обозначают a² и читают «а в квадрате». Например, 5² означает 5 · 5, а не 5 · 2. Такая короткая запись удобна, когда одно и то же число повторяется в вычислении или формуле.

Куб числа — это произведение числа на себя три раза; его обозначают a³ и читают «а в кубе». Например, 2³ означает 2 · 2 · 2. Обозначение позволяет не записывать длинное повторяющееся произведение каждый раз.

Возведение в квадрат — действие, при котором число умножают само на себя. Так, возвести 7 в квадрат значит вычислить 7 · 7. Это действие часто используют при вычислении площади и при работе с формулами.

Возведение в куб — действие, при котором число умножают само на себя дважды, то есть получают три одинаковых множителя. Например, возвести 3 в куб — значит вычислить 3 · 3 · 3. Это действие помогает кратко записывать умножение трёх одинаковых величин.

Как это устроено

Записи a² и a³ сокращают произведения a · a и a · a · a: вместо повторения буквы используют показатель степени. Маленькое число справа вверху называется показателем и показывает количество одинаковых множителей. Поэтому показатель 2 означает два множителя a, а показатель 3 — три. Основание степени — число, которое повторяется в произведении.

Чтобы вычислить квадрат или куб, сначала раскрывают степень как произведение, затем выполняют умножение. Например, 4² = 4 · 4 = 16, а 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. При вычислении куба удобно сначала найти квадрат основания, а потом умножить полученное число ещё раз на основание. Так меньше риск случайно пропустить один из множителей.

Знак результата зависит от знака основания и числа отрицательных множителей. При возведении отрицательного числа в квадрат перемножаются два отрицательных множителя, а их произведение положительно: (−3)² = 9. При возведении в куб отрицательных множителей три, и после умножения результат остаётся отрицательным: (−3)³ = −27. Значит, квадрат отрицательного числа положителен, а куб сохраняет знак основания.

Скобки показывают, относится ли минус к основанию степени. В записи (−a)² в квадрат возводят всё отрицательное число, поэтому результат при ненулевом a положителен. В записи −a² сначала возводят a в квадрат, а знак минус остаётся перед результатом. Например, −3² = −(3 · 3) = −9, тогда как (−3)² = (−3) · (−3) = 9.

Квадрат и куб числа

Сравнивай столбцы по строкам: так видно, чем отличаются запись, число множителей и знак результата. Геометрический смысл помогает запомнить формулы: для площади перемножают две длины, а для объёма — три.

Разбор задач

Вычислите 6² и 4³.

Нужно заменить каждую степень произведением с одинаковыми множителями. В первом случае множителей будет два, во втором — три. После этого останется выполнить умножение по порядку.

1. Раскроем квадрат: 6² = 6 · 6.
2. Вычислим произведение: 6 · 6 = 36.
3. Раскроем куб: 4³ = 4 · 4 · 4.
4. Сначала найдём 4 · 4 = 16, затем 16 · 4 = 64.

Ответ: 6² = 36, 4³ = 64. Проверка по смыслу записи: в квадрате было два множителя 6, а в кубе — три множителя 4.

Вычислите (−5)² и (−5)³.

Основание в обоих выражениях отрицательное, потому что знак минус заключён в скобки. Сначала посчитаем, сколько отрицательных множителей появляется при раскрытии степени. Затем учтём, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а трёх — отрицательно.

1. Раскроем квадрат: (−5)² = (−5) · (−5).
2. Вычислим: (−5) · (−5) = 25.
3. Раскроем куб: (−5)³ = (−5) · (−5) · (−5).
4. Первые два множителя дают 25, а 25 · (−5) = −125.

Ответ: (−5)² = 25, (−5)³ = −125. Полученные знаки согласуются с числом отрицательных множителей: два дают плюс, три — минус.

Сравните значения выражений −3² и (−3)², затем объясните, почему они различаются.

Здесь решающее значение имеют скобки и порядок действий. В первом выражении знак минус стоит перед степенью и не входит в её основание. Во втором скобки включают минус в основание, поэтому при возведении умножается отрицательное число само на себя.

1. В выражении −3² сначала вычислим степень: 3² = 9.
2. Поставим перед результатом знак минус: −3² = −9.
3. Во втором выражении раскроем скобки: (−3)² = (−3) · (−3).
4. Вычислим произведение: (−3) · (−3) = 9.
5. Сравним результаты: −9 меньше 9.

Ответ: −3² = −9, (−3)² = 9, поэтому −3² < (−3)². Значения различаются, потому что только во втором выражении минус является частью основания степени.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что a² означает a · 2. Так можно подумать, потому что показатель записан рядом с основанием, но он показывает количество множителей, а не число для умножения. Раскрой запись: a² = a · a. Проверь на примере: 5² = 25, а не 10.

Ошибка — записывать куб как произведение двух одинаковых множителей. Причина часто в том, что показатель 3 ошибочно принимают за число действий умножения. На самом деле куб содержит три множителя: a³ = a · a · a. Чтобы проверить себя, пересчитай основания в развёрнутой записи.

Ошибка — считать квадрат отрицательного числа отрицательным. При раскрытии степени видно, что отрицательное основание повторяется два раза, а произведение двух отрицательных чисел положительно. Например, (−4)² = (−4) · (−4) = 16. Проверяй знак после того, как определишь число отрицательных множителей.

Ошибка — путать −a² и (−a)², не учитывая скобки и порядок действий. В первом случае сначала находят квадрат a, а затем ставят минус; во втором возводят в квадрат всё отрицательное основание. Раскрой обе записи по отдельности и сравни, где именно находится минус. Например, −4² = −16, а (−4)² = 16.

Связь с другими темами

Для работы с квадратами и кубами нужно уметь умножать натуральные и отрицательные числа, а также соблюдать порядок действий. Тогда можно правильно раскрывать степень и определять знак результата. Эти понятия применяются при вычислении площади квадрата и объёма куба: квадрат стороны даёт площадь, а куб ребра — объём. Они также подготавливают к изучению степеней с другими показателями и помогают компактно записывать формулы.

Что запомнить

• a² = a · a.
• a³ = a · a · a.
• Квадрат отрицательного числа положителен.
• Куб отрицательного числа отрицателен.
• Скобки показывают, входит ли знак минус в основание степени.
• Площадь квадрата со стороной a равна a², а объём куба с ребром a равен a³.