Новогодняя елка

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. Например, количества 4, 7, 10, 13 образуют такую последовательность: каждый раз прибавляется 3. Это понятие помогает описать ситуацию, где число украшений на ярусах увеличивается одинаково.

Разность арифметической прогрессии — число, на которое изменяется каждый член при переходе к следующему. Её находят вычитанием предыдущего члена из следующего: для последовательности 4, 7, 10 разность равна 3. Разность показывает изменение только между соседними ярусами, поэтому по ней можно продолжать закономерность.

Первый член прогрессии — начальное количество предметов, от которого отсчитывают остальные значения. Если на первом ярусе 4 шара, то первый член равен 4. Он нужен как исходное значение: без него одного постоянного увеличения недостаточно, чтобы узнать количество шаров.

n-й член арифметической прогрессии — значение последовательности на выбранном шаге, например количество украшений на ярусе с номером n. Обозначение aₙ позволяет говорить о любом ярусе, не перечисляя все количества по порядку. Зная первый член и разность, можно вычислить этот член для выбранного номера.

Как это устроено

Чтобы представить ярусы ёлки последовательностью, каждому ярусу присваивают номер: первый, второй, третий и так далее. Напротив номера записывают количество украшений на этом ярусе. Такой порядок важен: он показывает, как меняется количество при переходе от нижнего яруса к следующему, и превращает описание ёлки в набор чисел.

Одинаковое увеличение на соседних ярусах задаёт арифметическую прогрессию, потому что к каждому предыдущему количеству прибавляют одно и то же число. Например, если прибавка равна 3, после 5 шаров идут 8, затем 11. Разности соседних значений здесь равны, и именно это постоянство позволяет продолжить ряд одним правилом.

Чтобы найти количество украшений на любом ярусе, нужны начальное количество и постоянное увеличение. Если на первом ярусе a₁ украшений, а разность равна d, то для яруса номер n действует формула aₙ = a₁ + (n−1)d. Множитель n−1 появляется потому, что от первого яруса до n-го нужно пройти n−1 промежутков, прибавляя d на каждом.

Общее число украшений на нескольких ярусах — это сумма количеств на каждом из них, а не число на последнем ярусе. Складывать значения по одному удобно для небольшого числа ярусов, но при большом их количестве это долго. Для арифметической прогрессии можно использовать формулу Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2: среднее количество на ярус умножается на число ярусов.

Перед расчётом нужно проверить, подходит ли прогрессия условию и самой ёлке. Для этого сравнивают количества на соседних ярусах: разности должны быть одинаковыми, а вычисленное число шаров — иметь смысл для задачи. Если, например, требуется украсить ярусы по одному шару, а расчёт даёт дробное количество или превышает имеющийся запас, модель не подтверждает возможность такого плана.

Модель расположения украшений на ярусах ёлки

Сначала по условию определи, какие значения известны, и занеси их в соответствующие строки. Затем найди недостающие величины: для одного яруса используй формулу члена, а для общего запаса — формулу суммы. Проверь, что n обозначает именно число ярусов, а не количество шаров.

Разбор задач

Задача 1

На первом ярусе 4 шара, а на каждом следующем на 3 шара больше. Нужно узнать количество шаров на пятом ярусе. Здесь дано начальное количество a₁ = 4 и постоянная разность d = 3. Найдём значение для n = 5, считая переходы от первого яруса.

1. Определяем число переходов: от первого яруса до пятого их 5−1 = 4.
2. Умножаем число переходов на прибавку: 4 · 3 = 12 шаров добавится к первому ярусу.
3. Прибавляем результат к начальному количеству: 4 + 12 = 16.

Ответ: на пятом ярусе 16 шаров. Проверка по порядку даёт ряд 4, 7, 10, 13, 16, где каждое соседнее количество отличается на 3.

Задача 2

На ярусах расположено 5, 8, 11 и далее шаров. Требуется узнать, сколько шаров нужно для семи ярусов. Разность постоянна и равна 3, поэтому можно найти количество на седьмом ярусе, а затем сумму всех семи значений. Такой способ избавляет от необходимости складывать длинный список вручную.

1. Записываем данные: a₁ = 5, d = 3, n = 7.
2. Находим число шаров на последнем ярусе: a₇ = 5 + (7−1) · 3 = 5 + 18 = 23.
3. Считаем сумму: S₇ = 7 · (5 + 23) / 2 = 7 · 14 = 98.

Ответ: для украшения семи ярусов нужно 98 шаров. Первое и последнее количества в среднем дают 14 шаров на ярус, а для семи ярусов это 98.

Задача 3

Купили 80 шаров, на первом ярусе разместили 5, а на каждом следующем — на 3 больше. Нужно определить, на сколько ярусов хватит запаса. Здесь недостаточно найти количество на одном ярусе: надо сравнивать с 80 сумму шаров для разного числа ярусов. Проверим соседние варианты, потому что общий расход растёт с добавлением каждого яруса.

1. Для n ярусов количество на последнем равно aₙ = 5 + 3(n−1) = 3n + 2.
2. Составляем сумму: Sₙ = n(5 + 3n + 2) / 2 = n(3n + 7) / 2.
3. Для шести ярусов получаем S₆ = 6 · 25 / 2 = 75. Проверка: это больше 80? Нет, значит можно разместить украшения; исправим расчёт по формуле: 6 · (3·6 + 7) / 2 = 6 · 25 / 2 = 75.
4. Для семи ярусов S₇ = 7 · 28 / 2 = 98, что превышает запас.

Ответ: шаров хватит на шесть ярусов. При шести ярусах нужно 75 шаров, остаётся 5; для седьмого яруса потребовалось бы ещё 23 шара, поэтому семи ярусов украсить нельзя.

Типичные ошибки

Можно спутать количество украшений на одном ярусе с общим количеством на нескольких. Первое — один член последовательности, второе — сумма членов, поэтому число на последнем ярусе не показывает весь расход. Чтобы проверить себя, спроси: нужно украсить один конкретный ярус или все ярусы вместе?

Разность иногда принимают за увеличение от первого яруса до любого следующего. Но d показывает изменение только при одном переходе, например от второго яруса к третьему; от первого до четвёртого изменение будет 3d. Проверь вычисление, выписав соседние количества и убедившись, что разность относится только к паре соседей.

При поиске n-го значения иногда прибавляют d n раз. Так получают лишний переход: от первого яруса до n-го их n−1, поэтому правильная запись — aₙ = a₁ + (n−1)d. Самопроверка проста: при n = 1 формула должна давать a₁, а не a₁ + d.

Ещё одна ошибка — применять арифметическую прогрессию, даже если прибавки между ярусами разные. Это может случиться, если закономерность проверили только по первым двум количествам. Найди все доступные разности соседних значений: если хотя бы одна отличается, используй другой способ решения, а не формулы прогрессии.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессией нужно уметь находить разность соседних чисел и складывать несколько слагаемых. Эти навыки помогают сначала проверить постоянство прибавки, а затем рассчитать общий расход шаров. Полезно также внимательно следить, к чему относится число: к одному ярусу или ко всем сразу.

Такая модель встречается не только при украшении ёлки. Ею удобно описывать закономерности, планировать запасы и считать величины, которые равномерно увеличиваются с каждым шагом. Если ежедневный расход или число предметов растут на одинаковую величину, можно тем же способом найти значение на нужном шаге и общий итог.

Что запомнить

• У каждого яруса есть свой номер и своё количество украшений.
• В арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна.
• От первого яруса до n-го — n−1 переходов.
• Количество на одном ярусе и общее количество на нескольких ярусах — разные величины.
• Перед применением модели проверь, действительно ли увеличение постоянно.