"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Переместительное свойство умножения показывает: если поменять множители местами, произведение останется тем же. Это правило помогает быстрее считать и проверять вычисления. Его можно понять на примере предметов, расположенных равными рядами: общее количество не зависит от того, считаем ли мы сначала ряды или предметы в каждом ряду. Свойство записывают так: a · b = b · a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое участвует в умножении и показывает один из равных компонентов произведения. Например, в записи 3 · 6 числа 3 и 6 — множители. Это понятие помогает отличать числа, которые перемножают, от результата вычисления.
Произведение — результат умножения двух множителей. В равенстве 3 · 6 = 18 числом 18 является произведение. Название нужно, чтобы точно говорить о результате и не путать его с множителями.
Переместительное свойство умножения — правило, по которому при перестановке множителей значение произведения не изменяется. Например, 3 · 6 равно 6 · 3. Свойство позволяет выбирать удобный порядок вычисления и проверять, верно ли записано равенство.
Перестановка множителей — изменение порядка чисел в записи умножения без изменения результата. Так, в выражении 4 · 7 множители можно записать в обратном порядке: 7 · 4. Понятие помогает увидеть, что изменился порядок чисел, а не сами числа или результат.
Умножение удобно связывать с подсчётом одинаковых групп предметов. Если предметы разложены равными рядами, можно узнать их общее количество, умножив число рядов на число предметов в одном ряду. Например, 3 ряда по 6 предметов — это 3 · 6 предметов. Такая модель объясняет смысл множителей: один сообщает число групп, другой — размер каждой группы.
Представим те же предметы не тремя рядами по шесть, а шестью рядами по три. Предметы можно лишь по-другому расположить, не добавляя и не убирая их, поэтому общее количество сохранится. Именно поэтому число рядов и число предметов в ряду можно поменять местами в вычислении. Причина равенства — один и тот же набор предметов, а не просто совпадение ответов.
Если в одном ряду b предметов, а рядов a, то всего предметов a · b. При другом способе подсчёта рядов будет b, а предметов в каждом ряду — a, и получится b · a. Поскольку в обоих случаях считаются одни и те же предметы, значения выражений равны: a · b = b · a. Буквы здесь обозначают любые числа, для которых рассматривается умножение.
Переместительное свойство можно использовать, когда один порядок множителей проще для устного счёта. Например, запись 3 · 6 можно заменить на 6 · 3; при вычислении по таблице оба выражения дают 18. Перестановка сама по себе не вычисляет произведение, а только меняет запись на равную ей. После этого всё равно нужно найти значение выражения, если требуется ответ.
Это правило относится к умножению, потому что его объясняет устройство равных групп и произведение двух множителей. У других действий могут быть собственные свойства, но их нельзя выводить из правила для умножения. Например, перестановка чисел при вычитании обычно меняет результат: 8 − 3 не равно 3 − 8. Поэтому сначала определяют действие, а затем выбирают подходящее свойство.
| Ситуация | Запись | Что нужно понять |
|---|---|---|
| Умножение двух чисел | 3 · 6 | 3 и 6 — множители, их произведение равно 18. |
| Перестановка множителей | 3 · 6 = 6 · 3 | Порядок изменился, значение произведения осталось прежним. |
| Буквенная запись свойства | a · b = b · a | Правило подходит для любых рассматриваемых множителей. |
| Вычисление удобным способом | 3 · 6 → 6 · 3 | Можно выбрать порядок, с которым легче считать. |
| Проверка равенства произведений | 5 · 4 = 4 · 5 | Обе части должны иметь одинаковое значение. |
Сначала найди в выражении множители, а затем проверь, не изменились ли они при перестановке. Таблица помогает отличить смену порядка от вычисления произведения: правило гарантирует равенство, но ответ всё равно нужно найти, если этого требует задача.
Задача 1. Вычислить 3 · 6, используя переместительное свойство умножения. Здесь нужно сначала узнать, какие числа можно переставить, а затем вычислить новое произведение. Перестановка не меняет ответ, поэтому можно выбрать запись, которую удобнее считать.
Ответ: 18. Проверка: оба выражения содержат те же множители, поэтому по переместительному свойству их произведения равны.
Задача 2. Вставить пропущенное число: 4 · 7 = 7 · □. Справа первым множителем записано число 7, которое слева было вторым. Значит, на место пропуска нужно поставить оставшийся множитель, чтобы справа оказались те же числа.
Ответ: 4. Если бы вместо 4 поставить другое число, справа изменился бы один из множителей, и равенство не следовало бы из переместительного свойства.
Задача 3. В классе стоят 5 рядов по 4 стула. Сколько стульев в классе? Решить задачу двумя способами. Важно не перепутать число рядов с числом стульев в ряду: оба числа участвуют в умножении, но описывают разные стороны расположения.
Ответ: в классе 20 стульев. Второй способ показывает, что перестановка множителей соответствует другому способу подсчёта тех же предметов, а не появлению нового количества стульев.
Иногда ученик меняет множители местами, но записывает другой результат. Так происходит, если он думает, что переместительное свойство меняет само значение выражения. Чтобы проверить себя, посчитай оба произведения отдельно: для одинаковых множителей они должны дать один ответ.
Другая ошибка — переносить правило на сложение или считать, что множители и слагаемые означают одно и то же. Эти слова относятся к разным действиям, и правило для умножения само по себе ничего не говорит о сложении. Проверь, какой знак стоит между числами, и применяй свойство именно этого действия.
При перестановке множителей можно по ошибке поменять цифры внутри многоразрядного числа, например превратить 24 в 42. Но 24 — один множитель, а не два множителя 2 и 4. Для проверки обведи каждый множитель целиком: менять местами можно выражения между знаками умножения, а не цифры внутри числа.
Нельзя считать, что порядок можно менять в любом выражении, не учитывая действия и скобки. Свойство относится к множителям в произведении, а выражения с вычитанием или смешанными действиями требуют отдельного анализа. Перед преобразованием прочитай выражение и проверь, сохраняются ли действие, скобки и сами множители.
До изучения свойства нужно понимать смысл умножения, различать множители и произведение и знать таблицу умножения. Эти знания позволяют не только поменять числа местами, но и вычислить получившееся произведение. Без таблицы свойство сохраняет равенство, но не сообщает значение ответа.
Правило пригодится при устных вычислениях: можно выбрать такой порядок множителей, который проще использовать. Оно также помогает проверять равенства и задачи о группах предметов. При этом перестановка не меняет значения самих множителей.
Дальше переместительное свойство будет использоваться вместе с сочетательным и распределительным свойствами умножения. Они помогают выполнять более сложные преобразования произведений. Чтобы применять их верно, важно различать, какое именно изменение выполняется: перестановка множителей или другое действие с выражением.
Почему при перестановке множителей результат не меняется?
Умножение можно представить как подсчёт предметов в одинаковых рядах. Если поменять число рядов и количество предметов в каждом ряду, набор предметов останется тем же, поэтому общее количество не изменится.
Можно ли менять местами множители в любом примере?
Можно менять местами множители в произведении, например 3 · 6 = 6 · 3. Нельзя автоматически переставлять числа в выражениях с другими действиями или менять цифры внутри одного числа.
Чем множитель отличается от произведения?
Множители — числа, которые перемножают. Произведение — результат умножения, например в записи 4 · 7 = 28 числа 4 и 7 являются множителями, а 28 — произведением.
Как понять, какой порядок множителей будет удобнее?
Посмотри, с какого множителя проще начать вычисление или какое произведение легче вспомнить. Например, при вычислении 3 · 6 можно записать 6 · 3 и получить тот же результат.
Работает ли переместительное свойство при сложении?
При сложении тоже действует переместительное свойство: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Но это отдельное правило, которое относится к сложению, а не к умножению.
Урок 16. Переместительное свойство умножения
