Урок 2. Деление

Определения и обозначения

Деление — действие, с помощью которого по произведению и одному множителю находят другой множитель. Например, если известно, что 4 · 3 = 12, то деление помогает восстановить любой из множителей. Поэтому деление связано с умножением и позволяет решать задачи, в которых неизвестно число равных групп или предметов в каждой группе.

Делимое — число, которое делят. В записи 12 : 4 = 3 делимое — это 12: именно это количество нужно разделить на равные части или сравнить с другим числом. Понимание этого термина помогает не перепутать числа в выражении и верно определить, с каким количеством мы начинаем работать.

Делитель — число, на которое делят; при делении натуральных чисел делитель должен быть отличен от нуля. В выражении 12 : 4 делитель — 4: он показывает, на сколько равных частей делят 12 или какого размера группы рассматривают. Если поменять делимое и делитель местами, смысл и результат действия обычно изменятся.

Частное — результат деления; также частным называют запись вида a : b. Например, в равенстве 12 : 4 = 3 числом 3 является частное, а записью частного служит 12 : 4. Эти слова помогают кратко описывать вычисление и понимать, какой результат требуется найти в задаче.

Как это устроено

Деление можно понять через умножение. Если 4 · 3 = 12, то число 12 состоит из четырёх троек и одновременно из трёх четвёрок. Поэтому 12 : 4 = 3, а 12 : 3 = 4: в каждом случае мы находим неизвестный множитель произведения 12. При делении проверяют, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое.

Первый смысл деления — распределить предметы поровну. Если 12 предметов разделить между 4 людьми, каждый получит по 3: это можно представить как 4 одинаковые группы по 3 предмета. Другой смысл — выяснить, сколько раз одно число содержится в другом: например, в 12 три раза содержится по 4. Оба вопроса приводят к выражению 12 : 4, потому что количество предметов и размер каждой равной группы связаны умножением.

При делении ненулевого числа на себя получается 1: например, 8 : 8 = 1. Причина в том, что в числе 8 одна восьмёрка, а ещё 8 · 1 = 8, значит, частное должно быть равно 1. При делении на 1 число не меняется: 8 : 1 = 8, поскольку восемь единичных частей составляют 8. Это тоже подтверждается умножением: 1 · 8 = 8.

Если ноль разделить на ненулевое число, получится ноль: например, 0 : 8 = 0. Нужно найти число, которое при умножении на 8 даёт 0; таким числом является 0. Делить на ноль нельзя: для 8 : 0 пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно 8, но любое число, умноженное на 0, даёт 0. Поэтому такого частного не существует, а выражение 0 : 0 тоже не определено: оно не задаёт единственного результата.

Результаты деления в простых случаях

Таблица помогает быстро вспомнить правила для деления на 1, деления числа на себя и деления нуля. Сначала найди в первом столбце нужный случай, а затем сверь результат с примером. Обрати внимание: правило для нуля применимо только тогда, когда делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. 12 конфет поровну раздали 3 детям. Сколько конфет получил каждый? Слово «поровну» подсказывает, что нужно разделить общее количество конфет на число детей. Чтобы убедиться в ответе, умножим количество конфет у одного ребёнка на число детей.

1. Запишем действие: 12 : 3.
2. Найдём число, которое при умножении на 3 даёт 12. Это число 4, так как 3 · 4 = 12.
3. Проверим: 4 конфеты у каждого из 3 детей — всего 12 конфет.

Ответ: каждый ребёнок получил 4 конфеты.

Задача 2. Вычислите 56 : 7 и объясните, как проверить результат. Здесь нужно подобрать число, которое при умножении на делитель 7 даст делимое 56. Можно воспользоваться таблицей умножения, а затем проверить равенство обратным действием.

1. Подбираем произведение с множителем 7: 7 · 8 = 56.
2. Значит, 56 : 7 = 8, потому что искомый множитель равен 8.
3. Проверяем: умножаем частное на делитель, 8 · 7 = 56. Получили делимое, значит, вычисление верно.

Ответ: 56 : 7 = 8; проверка: 8 · 7 = 56.

Задача 3. Вычислите 0 : 9, 9 : 1, 9 : 9 и объясните, почему выражение 9 : 0 не имеет значения. В первых трёх выражениях можно применить правила деления нуля, деления на единицу и деления числа на себя. В последнем случае используем связь деления с умножением, чтобы проверить, возможно ли найти частное.

1. 0 : 9 = 0, поскольку 0 · 9 = 0.
2. 9 : 1 = 9, поскольку деление на единицу не изменяет число.
3. 9 : 9 = 1, поскольку 9 · 1 = 9.
4. Для 9 : 0 пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно 9. Такого числа нет: любое число, умноженное на 0, даёт 0.

Ответ: 0 : 9 = 0, 9 : 1 = 9, 9 : 9 = 1; выражение 9 : 0 не определено.

Типичные ошибки

Иногда путают делимое и делитель. Это происходит, если смотреть только на числа и не задавать вопрос о смысле действия: что именно делят и на сколько частей или во сколько раз сравнивают. Найди в записи число, которое делят, и проверь, какой вопрос соответствует делителю.

Ошибочно считать, что деление всегда уменьшает число. Такое представление возникает из первых примеров с натуральными числами, которые делят на число больше 1; при делении на 1 число остаётся прежним, а при делении на число меньше 1 оно может увеличиться. Перед выводом сравни делитель с единицей и проверь результат умножением.

Запись 0 : 0 = 0 неверна. Правило «ноль, делённый на число, равен нулю» действует только для ненулевого делителя; при делении 0 на 0 подходящим произведением оказывается 0, умноженное на любое число, поэтому единственного частного нет. Проверяй, не равен ли делитель нулю, прежде чем применять правило о делении нуля.

Нельзя пытаться выполнить деление на ноль. Ошибка появляется, когда деление считают обычным вычислением и забывают проверить, существует ли число, которое требуется найти. Если делимое ненулевое, умножение любого возможного частного на 0 даст 0, а не делимое; значит, частного нет.

Связь с другими темами

Для деления полезно знать таблицу умножения: так легче подбирать частное. Умножение и деление — взаимно обратные действия, поэтому равенство a : b = c можно проверить равенством b · c = a. Эта связь позволяет находить неизвестный множитель и решать уравнения.

Деление помогает решать задачи на равное распределение и выяснять, сколько одинаковых групп можно составить. Позже оно понадобится при работе с дробями и отношениями, где тоже сравнивают величины и находят их части. Умение определять делимое и делитель помогает верно составлять выражение по условию.

Что запомнить

• Деление связано с умножением: a : b = c означает b · c = a.
• Деление на 1 не изменяет число.
• Ненулевое число, разделённое на себя, равно 1.
• Ноль, разделённый на ненулевое число, равен нулю.
• На ноль делить нельзя.
• Проверить деление можно умножением частного на делитель.