Фестиваль идей. А что можно придумать еще?

Определения и обозначения

Математическая задача — ситуация с известными условиями и вопросом, ответ на который нужно найти. Она помогает описать практический вопрос так, чтобы его можно было решить математическими способами. Например, можно выяснить, сколько заплатят за несколько одинаковых товаров.

Условие задачи — сведения, которые заданы и нужны для решения. Существенные данные помогают ответить на вопрос, а лишние можно убрать, не меняя ответ. Например, для стоимости покупок важны цена и количество, но не цвет упаковки.

Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, уравнений, таблиц или схем. Она показывает, как связаны величины, и помогает выбрать способ решения. Если купили n предметов по цене p, стоимость можно записать выражением p · n.

Обратная задача — задача, составленная из исходной заменой неизвестного на известное, а известного на неизвестное. Такая задача позволяет проверить, понятна ли связь между величинами. Найденный в исходной задаче результат становится одним из данных обратной.

Как это устроено

Чтобы превратить наблюдение в задачу, сначала выбери ситуацию, которую можно описать числами: например, покупку или поездку. Затем задай конкретный вопрос и выясни, какие величины помогут на него ответить. Это нужно потому, что без вопроса непонятно, что искать, а без подходящих данных нельзя построить решение. Например, для вопроса о стоимости важны цена одного предмета и их количество.

Одну ситуацию можно описать несколькими задачами, потому что в ней есть разные величины и связи между ними. Можно оставить данные прежними, но спросить о другом, или изменить числа и сохранить смысл условия. Например, зная длину и ширину прямоугольника, можно спросить о площади, а можно изменить одну сторону и узнать новую площадь. Перед изменением убедись, что новый вопрос по-прежнему связан с данными.

Математическая модель переводит слова в запись, с которой удобно работать. Для короткого вычисления хватит выражения, для неизвестной величины часто удобно уравнение, а таблица или схема помогает упорядочить несколько данных. Выбирай модель по связи между величинами, а не по привычке использовать один и тот же способ. Так меньше риск пропустить данные или неверно понять, что требуется найти.

Придуманную задачу нужно проверить до того, как предлагать её другим. Убедись, что условие понятно, данных хватает, а все сведения могут быть верными одновременно. Затем реши задачу и проверь, отвечает ли результат на поставленный вопрос. Такая проверка обнаруживает не только ошибки вычислений, но и неудачно выбранные числа или недостающие условия.

Усложнить задачу можно, добавив ограничение, например указав, что число предметов должно быть целым. Другой способ — изменить неизвестное: вместо общей стоимости искать количество покупок. Чтобы составить обратную задачу, возьми ответ исходной как известное данное, а одну из прежних известных величин сделай неизвестной. Эти изменения помогают исследовать ту же связь между величинами с разных сторон.

Проверяем придуманную задачу

Проверь задачу по каждому вопросу в таблице: так проще заметить неясность, нехватку данных или противоречие. Сначала прочитай условие глазами человека, который его не составлял, затем реши задачу самостоятельно. Последний шаг — проверить ответ в исходной ситуации, а не только в вычислениях.

Разбор задач

Задача 1. Для фестиваля купили 6 одинаковых блокнотов по 45 рублей каждый. Составь задачу о стоимости покупки и реши её. Нужно связать цену одного блокнота и количество, потому что именно эти данные определяют общую стоимость.

1. Вопрос задачи: сколько рублей заплатили за все блокноты?
2. Запишем модель: общая стоимость равна цене одного блокнота, умноженной на количество. Получаем выражение 45 · 6.
3. Вычислим: 45 · 6 = 270. Проверим смысл: шесть блокнотов по 45 рублей стоят больше, чем один блокнот.

Ответ: 270 рублей.

Задача 2. Длина прямоугольной площадки равна 12 м, ширина — 5 м. Составь задачу о её площади, а затем измени вопрос так, чтобы неизвестной стала длина, если площадь равна 60 м², а ширина — 5 м. Формула площади S = a · b задаёт связь всех трёх величин.

1. В первой задаче спрашиваем площадь. Подставляем длину и ширину: S = 12 · 5 = 60 м².
2. Во второй задаче спрашиваем длину. Из формулы получаем a = S : b, поэтому a = 60 : 5 = 12 м.
3. Проверяем: 12 · 5 = 60, значит найденная длина согласуется с площадью и шириной.

Ответ: площадь равна 60 м²; неизвестная длина равна 12 м.

Задача 3. Второй участник выехал на велосипеде со скоростью 12 км/ч, а первый — со скоростью 15 км/ч. Первый стартовал на 1 час позже, но оба едут по одной дороге в одном направлении. Через сколько часов после старта первого участника он догонит второго? Сначала нужно учесть, что за время задержки второй успел уехать вперёд.

1. За первый час второй проедет 12 км. Это расстояние станет начальным отрывом.
2. После старта первого расстояние между участниками уменьшается на 15 − 12 = 3 км за час. Обозначим время догоняния через t и составим уравнение: 3t = 12.
3. Решим уравнение: t = 12 : 3 = 4. Проверим: за 4 часа первый проедет 60 км, а второй за 5 часов — тоже 60 км.

Ответ: через 4 часа после старта первого участника.

Типичные ошибки

Условие иногда составляют без вопроса, и читателю непонятно, что требуется найти. Так бывает, когда автор описывает ситуацию, но не решает, какой результат ему нужен. Проверь себя: сформулируй вопрос одним предложением и убедись, что на него можно дать определённый ответ.

Другая ошибка — включать сведения, не связанные с вопросом, или забывать необходимое данное. Лишняя информация отвлекает, а недостаток данных мешает построить решение; их легко перепутать, если не разобрать связи величин. Проверь каждое число: объясни, где оно используется, и попробуй решить задачу только по условию.

Иногда выбранные числа делают условие противоречивым или приводят к невозможному результату. Причина часто в том, что автор проверяет вычисления, но не примеряет их к реальной ситуации. Сопоставь данные между собой и спроси, может ли такой случай произойти; после решения проверь, допустим ли ответ.

Выполненные вычисления сами по себе не доказывают, что задача решена верно. Можно без ошибок посчитать выражение, которое не отвечает на вопрос, или получить результат, не подходящий по смыслу. Подставь ответ в условие, выполни обратную проверку и назови единицы измерения, если они нужны.

Связь с другими темами

Для составления задачи пригодятся арифметические действия и работа с выражениями: они помогают записать и вычислить связи между данными. Нужно также понимать, что именно обозначают числа в условии, иначе легко перепутать цену с количеством или длину с площадью. Эти умения помогают переходить от словесного описания к математической записи. Поэтому полезно сначала разбирать смысл данных, а уже затем выбирать действие.

Моделирование и проверка условий нужны не только при придумывании задач. Они помогают решать текстовые задачи, составлять уравнения и разбирать практические ситуации, например связанные с покупками, измерениями и движением. Если правильно определить величины и их связи, проще выбрать способ решения. Проверка ответа показывает, согласуется ли вычисление с исходной ситуацией.

Что запомнить

• У задачи должны быть понятные условие и вопрос.
• Каждое данное должно быть связано с вопросом.
• Модель помогает перейти от ситуации к математическому решению.
• Одну ситуацию можно описать разными задачами.
• Придуманную задачу нужно проверить на достаточность данных и непротиворечивость.
• Ответ проверяют не только вычислением, но и по смыслу.