"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение величины на число помогает увеличить или уменьшить измеряемую величину в несколько раз. При этом умножают только её числовое значение, а единицу измерения сохраняют: 4 м · 3 = 12 м. Правило работает для натуральных, дробных и десятичных множителей. Если множитель меньше единицы, результат уменьшается, а составные величины сначала переводят в одну удобную единицу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величина — объект измерения, имеющий числовое значение и единицу измерения. Например, длина карандаша 15 см и масса яблока 200 г — это величины. Такое понятие нужно, чтобы описывать измеряемые свойства предметов и выполнять с ними вычисления.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. В записи 7 л число 7 означает, что в объёме содержится семь литровых единиц. При умножении изменяется именно это число, поэтому величина становится больше или меньше.
Умножение величины на число — увеличение или уменьшение её числового значения во столько раз, сколько показывает множитель. Например, при вычислении 6 м · 4 длина берётся четыре раза и получается 24 м. Это позволяет быстро находить несколько одинаковых величин или их часть.
Единица измерения — принятая единица, с помощью которой выражают величину: метр, килограмм, минута и другие. При умножении величины на число эта единица сохраняется. Она показывает, что именно измеряется, и не превращается, например, из метров в квадратные метры.
Умножение величины на натуральное число связано со сложением одинаковых величин. Запись 4 м · 3 означает 4 м + 4 м + 4 м, потому что одна и та же длина взята три раза. Число 3 можно умножить на 4, но единица «метр» при этом остаётся общей: 4 м · 3 = 12 м.
Единицу измерения не умножают как обычное число, потому что множитель не обозначает новую длину, массу или время. Он сообщает только, во сколько раз меняется числовое значение. Поэтому 2 кг · 5 = 10 кг, а не 10 кг²: квадратные единицы возникают в других действиях, например при умножении длины на длину.
Дробный множитель показывает часть величины или несколько её частей, поэтому с ним действуют так же: умножают числовое значение и сохраняют единицу. Например, 12 м · ½ = 6 м, так как берётся половина от 12 м. Десятичный множитель обрабатывают по правилам умножения десятичных чисел: 2,5 кг · 1,2 = 3 кг.
Составные единицы содержат несколько единиц одного рода, например метры и сантиметры. Перед умножением их переводят в одну единицу, поскольку складывать или умножать несопоставимые записи напрямую неудобно. Так, 3 м 40 см превращают в 340 см, выполняют вычисление, а затем при необходимости снова записывают результат в метрах и сантиметрах.
Размер множителя помогает быстро проверить ответ. Если он больше 1, величина должна увеличиться, если находится между 0 и 1 — уменьшиться, а при множителе 0 получится нулевая величина. Например, результат 8 кг · 1,5 не может быть меньше 8 кг, а результат 8 кг · 0,5 не может быть больше 8 кг.
В таблице сначала определите вид множителя или записи величины. Затем выполните действие только с числовым значением и проверьте, что единица записана правильно. Для составной величины перед вычислением используйте перевод в одну единицу.
| Случай | Действие с числовым значением | Единица измерения | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение на натуральное число | Умножить на натуральный множитель | Сохраняется | 4 м · 3 = 12 м |
| Умножение на дробное число | Умножить на дробь | Сохраняется | 8 кг · ½ = 4 кг |
| Умножение на десятичное число | Умножить десятичные числа | Сохраняется | 2,5 кг · 1,2 = 3 кг |
| Умножение на нуль | Умножить числовое значение на 0 | Получается нулевая величина | 7 с · 0 = 0 с |
| Величина в составных единицах | Перевести в одну единицу и умножить | После вычисления можно преобразовать | 3 м 40 см · 2,5 = 8 м 50 см |
Вычислите: 4 м · 3. Здесь величина выражена в метрах, а множитель натуральный. Значит, длину нужно взять три раза, или умножить её числовое значение на 3.
Ответ: 12 м.
Вычислите: 2,5 кг · 1,2. Единица измерения уже одна, поэтому переводить массу не требуется. Множитель 1,2 больше единицы, значит, результат должен быть немного больше 2,5 кг.
Ответ: 3 кг. Проверка по размеру множителя подтверждает ответ: 3 кг больше 2,5 кг.
Вычислите: 3 м 40 см · 2,5. В записи использованы метры и сантиметры, поэтому сначала выберем одну единицу. Удобно перейти к сантиметрам, а после умножения вернуть результат к составной записи.
Ответ: 8 м 50 см. Результат больше исходных 3 м 40 см, потому что множитель 2,5 больше единицы.
Первая ошибка — умножать не только число, но и единицу: получать «15 м²» из 5 м · 3. Так происходит из-за привычки перемножать все записи подряд. Проверьте, является ли множитель измеряемой величиной: если это просто число, единица сохраняется.
Вторая ошибка — складывать или преобразовывать метры и сантиметры без перевода. Например, запись 3 м 40 см нельзя считать как 3 + 40. Переведите всё в сантиметры или всё в метры, а затем проверьте, что единицы одинаковы.
Третья ошибка — неверно поставить запятую в произведении десятичных чисел. Не полагайтесь только на механический подсчёт знаков после запятой: оцените пример примерно. В случае 2,5 · 1,2 ответ должен быть около 3, а не 30 или 0,3.
Четвёртая ошибка — считать, что произведение всегда больше исходной величины. Множитель меньше единицы уменьшает величину, а множитель 0 даёт нулевой результат. Сравните множитель с единицей до вычисления и используйте это как проверку.
До изучения темы нужны смысл умножения, правила действий с натуральными, дробными и десятичными числами, а также соотношения между единицами измерения. Эти знания помогают правильно вычислять числовое значение и переводить составные записи.
Умножение величины на число встречается в задачах на скорость, стоимость, площадь, массу и время. Оно также нужно при вычислении значений физических величин, когда известное значение увеличивают, уменьшают или находят его часть.
Почему при умножении 5 м на 3 получается 15 м, а не 15 м²?
Число 3 не является единицей длины, а только показывает, сколько раз взять величину 5 м. Поэтому умножается числовое значение, а единица измерения остаётся метром. Квадратные метры появляются при умножении длины на длину, например при вычислении площади.
Можно ли умножать величину на дробь или десятичное число?
Да, можно. Нужно умножить числовое значение величины на дробь или десятичное число, сохранив единицу измерения. Например, 8 кг · ½ = 4 кг, а 2,5 кг · 1,2 = 3 кг.
Что делать, если величина записана в метрах и сантиметрах?
Сначала переведите составную величину в одну единицу, удобнее всего в сантиметры. Затем выполните умножение и при необходимости переведите ответ обратно в метры и сантиметры.
Почему результат умножения на число меньше единицы получается меньше исходной величины?
Число от нуля до единицы показывает не целую величину, а только её часть. Поэтому при умножении получается доля исходного значения. Например, 10 м · 0,4 = 4 м.
Как проверить, не ошибся ли я в единицах измерения?
Проверьте, что единица измерения в ответе такая же, как в условии. Также сравните результат с исходной величиной: множитель больше единицы должен увеличить её, а множитель от нуля до единицы — уменьшить.
Урок 1.Умножение величины на число
