"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Танграм — головоломка, в которой из семи частей разрезанного квадрата составляют разные фигуры: животных, предметы или геометрические силуэты. Детали можно перемещать, поворачивать и переворачивать, но нельзя растягивать, обрезать или накладывать друг на друга. Разбираясь с танграмом, учатся видеть форму и границы фигур, мысленно поворачивать части и составлять целое из частей. При этом площадь собранной фигуры остаётся равной площади исходного квадрата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Танграм — геометрическая головоломка из семи плоских частей, которые получают разрезанием квадрата. Детали можно переставлять и собирать из них разные силуэты. Это определение помогает отличить танграм от обычного набора фигур: важны и число частей, и то, что они образуют целое.
Тан — одна из семи частей танграма: пять треугольников, квадрат и параллелограмм. Треугольники бывают трёх размеров: два больших, один средний и два маленьких. Названия частей помогают быстрее находить нужную форму и проверять, все ли детали использованы.
Танграмная фигура — силуэт, который составляют из всех частей набора, не накладывая их друг на друга. У каждой детали есть своё место, а весь набор должен образовать целую фигуру. Это понятие нужно, чтобы понимать условия сборки и не принимать за готовый ответ фигуру, собранную только из нескольких частей.
Силуэт — контур изображения, по которому нужно восстановить расположение частей танграма. Внутренние границы деталей часто не показаны, поэтому их приходится мысленно находить. Силуэт служит подсказкой: по его углам и сторонам можно определить, какие части подойдут.
Если разрезать квадрат по заданным линиям, он разделится на семь частей, но ни одна из них не исчезнет и не изменится. Поэтому все детали вместе по-прежнему покрывают исходный квадрат: границы просто появились внутри него. Это объясняет, почему из набора можно снова сложить квадрат и почему для работы важен полный комплект.
При сборке детали разрешено передвигать, поворачивать и переворачивать. Эти действия меняют положение части, но не её форму и размер, поэтому её площадь остаётся прежней. Растягивание или обрезание уже создаёт другую деталь и нарушает условие головоломки. Особенно полезно пробовать разные повороты, когда сторона детали подходит по длине, но её угол направлен не туда.
Сопоставлять детали с силуэтом удобнее от крупных ориентиров к мелким. Сначала найдите большие треугольники и сравните их длинные стороны с заметными границами контура; углы силуэта могут подсказать вершины этих частей. Затем разместите средний и маленькие треугольники, квадрат и параллелограмм в оставшихся участках. Такой порядок уменьшает число случайных перестановок: крупные детали задают основу, а мелкие заполняют контур.
Площадь собранной фигуры равна площади исходного квадрата, потому что набор частей остаётся тем же. При точной сборке детали не накладываются и не оставляют промежутков, значит, вместе покрывают ровно ту площадь, которая была у квадрата. Если сложить только часть набора или допустить наложение, это рассуждение уже не подтверждает правильность сборки. Равенство площадей основано не на внешней форме фигуры, а на сохранении всех её частей.
Один и тот же набор можно располагать по-разному, поэтому из него получаются разные силуэты. Более того, иногда один контур допускает несколько способов разбиения: одинаковые границы могут быть составлены из разных комбинаций частей. Это происходит потому, что некоторые детали подходят к одному участку по длинам и углам разными сторонами. Поэтому поиск решения может иметь несколько вариантов, и каждый следует проверить по всему набору.
| Часть | Количество | Форма | Как соотносится с площадью исходного квадрата |
|---|---|---|---|
| Большой треугольник | 2 | Прямоугольный равнобедренный треугольник | Каждый занимает ¼ площади |
| Средний треугольник | 1 | Прямоугольный равнобедренный треугольник | Занимает ⅛ площади |
| Малый треугольник | 2 | Прямоугольный равнобедренный треугольник | Каждый занимает ¹⁄₁₆ площади |
| Квадрат | 1 | Квадрат | Занимает ⅛ площади |
| Параллелограмм | 1 | Параллелограмм | Занимает ⅛ площади |
Доли указаны относительно площади квадрата, из которого получен набор. Их сумма равна 1: 2 · ¼ + ⅛ + 2 · ¹⁄₁₆ + ⅛ + ⅛ = 1. По таблице удобно сверять и виды деталей, и их число, а также проверять, полностью ли использован набор.
Сначала сгруппируем детали по форме. У треугольников три стороны и три угла, у квадрата четыре равные стороны и прямые углы, а у параллелограмма противоположные стороны параллельны. Значит, детали нужно распределить по этим трём видам.
Пересчитаем треугольники, не объединяя их по размеру. Больших два, средний один и маленьких два; всего 2 + 1 + 2 = 5. Так мы учитываем каждую треугольную деталь, а не только число их размеров.
Теперь проверим оставшиеся детали. Среди них один квадрат и один параллелограмм, поэтому общее число частей равно 5 + 1 + 1 = 7. Проверка общего количества помогает заметить, если какая-то деталь пропущена или посчитана дважды.
Ответ: пять треугольников, один квадрат и один параллелограмм.
Для начала разложим все семь деталей рядом и найдём самые крупные. Их длинные стороны могут стать сторонами внешнего контура, а прямые углы помогут получить углы квадрата. Не будем сразу заполнять середину: сначала важно наметить границу целой фигуры.
Повернём крупные треугольники так, чтобы их длинные стороны продолжали внешний контур. Если детали не подходят по направлению, изменим их положение поворотом или переворотом, не меняя размеров. Сопоставим вершины и стороны: соседние детали должны встречаться границами, а не перекрываться.
Заполним оставшиеся участки средним и маленькими треугольниками, квадратом и параллелограммом. Каждый раз проверим, что края деталей точно совпадают, а внутри не осталось пустого места. Если где-то возник промежуток, значит, нужно изменить положение одной или нескольких соседних частей.
В конце пересчитаем детали и проверим внешний контур. Он должен быть квадратом, а в сборке должны присутствовать все семь частей без наложений. Такая проверка одновременно подтверждает правильность формы и полноту набора.
Ответ: квадрат можно собрать, располагая детали по его границе и заполняя оставшуюся площадь без промежутков и наложений.
Рассмотрим контур и отметим самые заметные длинные стороны и углы. Сравним их с крупными треугольниками: так проще закрепить основные части и понять, куда направлены границы силуэта. Если сторона подходит, но угол направлен неверно, повернём деталь или перевернём её.
После крупных треугольников подберём средний и маленькие. Затем используем квадрат и параллелограмм, проверяя каждый оставшийся участок контура. Не будем считать решение готовым, пока не размещены все семь частей и каждая граница совпадает с силуэтом.
Проверим сборку: части не должны накладываться, а между ними не должно быть промежутков. Значит, фигура целиком составлена из тех же деталей, что и исходный квадрат. Ни одна часть не изменила форму или размер, поэтому сумма их площадей сохранилась.
Ответ: силуэт составлен из всех семи частей без промежутков и наложений; его площадь равна площади исходного квадрата, поскольку набор деталей не изменился.
Растягивать или обрезать детали. Так иногда пытаются подогнать часть под контур, но после изменения размера или формы она перестаёт быть исходным таном. Проверь себя: все ли стороны и углы детали остались такими, как были? Если нет, верни исходную форму и попробуй передвинуть, повернуть или перевернуть часть.
Считать, что параллелограмм нельзя перевернуть. Его наклонные стороны могут сбить с толку: после поворота он не всегда оказывается в нужном положении. Переворот разрешён, поэтому попробуй отразить деталь, если её грани подходят по длине, но направление наклона не совпадает. Проверь результат по соседним сторонам и контуру.
Оставлять промежутки или накладывать части. При неплотной сборке силуэт не покрыт точно, а при наложении часть площади учитывается дважды. Такие неточности могут появиться, если смотреть только на внешний край. Проверь все внутренние стыки: границы деталей должны соприкасаться без пустот и перекрытий.
Путать количество и виды частей. Можно принять треугольники разных размеров за разные виды или забыть одну из деталей. В итоге набор окажется неполным, хотя внешняя фигура может выглядеть убедительно. Для самопроверки пересчитай детали по группам: пять треугольников, один квадрат и один параллелограмм — всего семь частей.
Для работы с танграмом нужно распознавать треугольник, квадрат и параллелограмм, различать стороны и углы. Разрезание квадрата связывает эти знания с представлением о том, что площадь целого равна сумме площадей частей. Составление силуэтов пригодится при решении задач на разбиение и построение многоугольников. Оно также тренирует пространственное воображение: приходится мысленно поворачивать детали и предсказывать, как они соединятся.
Из каких частей состоит танграм?
В наборе семь деталей: пять треугольников, один квадрат и один параллелограмм. Среди треугольников два больших, один средний и два маленьких.
Можно ли переворачивать детали танграма?
Да, детали можно переворачивать и поворачивать. Это помогает подобрать нужное положение, особенно если силуэт не совпадает с первоначальной ориентацией части.
Нужно ли использовать все семь частей при составлении силуэта?
Да, танграмную фигуру составляют из всех семи деталей. Их нужно разместить без промежутков и наложений.
Почему части танграма нельзя растягивать или обрезать?
Тогда изменятся форма или размер детали, и это будет уже не исходный набор танграма. При составлении разрешено только перемещать части, поворачивать и переворачивать их.
Как объяснить, что площадь составленной фигуры не меняется?
Используются те же детали, которые вместе составляли исходный квадрат, поэтому сумма их площадей не меняется. Если детали не накладываются и между ними нет промежутков, площадь новой фигуры равна сумме площадей всех частей.
Фестиваль идей. Тантрам
