"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Дроби позволяют записывать части целого и выполнять вычисления с ними. Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби, нужно учитывать размер долей, который задаёт знаменатель. При умножении и делении действуют другие правила, а для удобства обыкновенную дробь иногда заменяют десятичной. Повторение помогает выбирать подходящий способ вычисления, проверять результат и не путать исходную величину с её остатком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь состоит из числителя над чертой и знаменателя под ней: в дроби 3/5 число 3 — числитель, а 5 — знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Черта дроби означает деление числителя на знаменатель, поэтому 3/5 = 3 : 5.
Правильная дробь имеет числитель меньше знаменателя, например 2/7, и её значение меньше единицы. В неправильной дроби числитель не меньше знаменателя, например 7/4, поэтому она равна единице или больше неё. Это сравнение помогает понять, помещается ли указанная часть в одном целом.
Смешанное число состоит из целой и дробной частей: например, 2 1/3 означает два целых и ещё одну треть. Чтобы записать его неправильной дробью, целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и записывают результат над прежним знаменателем: 2 1/3 = 7/3. Такая запись удобна для выполнения действий с дробями.
Десятичную дробь записывают с запятой: например, 0,37. Цифры справа от запятой показывают доли единицы: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Поэтому 0,37 = 37/100, а число знаков после запятой помогает определить знаменатель обыкновенной дроби.
Равные дроби могут выглядеть по-разному, но обозначать одну и ту же величину. Если каждую равную долю разделить на одинаковое число частей или каждую такую часть взять несколько раз, отношение числителя к знаменателю не изменится. Поэтому числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число: 2/3 = 4/6. Деление на общий делитель называют сокращением дроби.
При одинаковых знаменателях доли имеют одинаковый размер, поэтому сравнивают только их количество: 5/8 больше 3/8. При одинаковых числителях количество долей совпадает, но их размер разный: одна треть больше одной пятой, потому что целое разделили на меньшее число частей. Если знаменатели и числители различаются, сначала удобно привести дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель нужен потому, что складывать и вычитать можно доли одинакового размера. Для этого находят число, которое делится на оба знаменателя, и превращают каждую дробь в равную ей дробь с этим знаменателем. Затем складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним. При сравнении такой приём тоже помогает: при равных знаменателях достаточно сравнить числители.
При умножении долей удобно перемножить числители между собой, а знаменатели — между собой: a/b · c/d = ac/bd. При делении нужно узнать, сколько раз делитель содержится в делимом; умножение на обратную дробь даёт тот же результат, потому что дробь, умноженная на обратную ей, равна единице. Поэтому a/b : c/d = a/b · d/c, если c не равно нулю. Обратную дробь получают перестановкой числителя и знаменателя делителя.
Обыкновенная и десятичная записи могут выражать одно и то же число: 3/4 = 0,75. Десятичная запись особенно удобна, если знаменатель можно превратить в 10, 100, 1000 и так далее. Но не всякая обыкновенная дробь даёт конечную десятичную запись, поэтому форму выбирают по задаче: иногда проще считать с десятичными числами, а иногда — с обыкновенными дробями.
Используйте таблицу как краткую подсказку: сначала определите, какое действие нужно выполнить, затем сверьте правило. Столбец «Что проверить» помогает заметить ошибку до того, как вы запишете ответ. После вычислений сократите результат, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.
| Ситуация | Правило | Что проверить |
|---|---|---|
| Равные дроби | Умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число. | Изменились ли числитель и знаменатель одинаково. |
| Сравнение дробей | Привести к общему знаменателю или сравнить числители при одинаковых знаменателях. | Учитывается ли размер долей. |
| Сложение и вычитание | Привести дроби к общему знаменателю, выполнить действие с числителями. | Оставлен ли общий знаменатель без изменения. |
| Умножение | Перемножить числители и отдельно знаменатели. | Не равен ли знаменатель нулю; можно ли сократить ответ. |
| Деление | Умножить делимое на дробь, обратную делителю. | Перевёрнут ли именно делитель. |
| Переход между обыкновенной и десятичной записью | Учесть разряды после запятой или выполнить деление числителя на знаменатель. | Соответствует ли знаменатель числу знаков после запятой. |
Задача 1. Сократить дробь 18/24 и объяснить, почему полученная дробь равна исходной. Нужно найти общий делитель числителя и знаменателя, чтобы уменьшить числа, не меняя значения дроби. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
Разделим числитель и знаменатель на 6: 18/24 = (18 : 6)/(24 : 6) = 3/4. Оба числа уменьшены в одинаковое количество раз, поэтому отношение не изменилось.
Проверим, можно ли сократить 3/4 дальше. У чисел 3 и 4 нет общего делителя, кроме 1, значит дробь уже несократима.
Полученную дробь можно проверить умножением числителя и знаменателя на 6: 3 · 6 = 18 и 4 · 6 = 24. Так снова получается исходная дробь.
Ответ: 18/24 = 3/4; дроби равны, потому что числитель и знаменатель разделили на одно и то же ненулевое число.
Задача 2. Вычислить 3/4 + 5/6 и записать ответ в сокращённом виде. Знаменатели различаются, поэтому складывать числители сразу нельзя: сначала нужно выразить обе дроби в долях одинакового размера. Общий знаменатель для 4 и 6 — 12.
Преобразуем дроби: 3/4 = 9/12, потому что числитель и знаменатель умножили на 3. Дробь 5/6 = 10/12, потому что оба её числа умножили на 2.
Теперь складываем количество двенадцатых: 9/12 + 10/12 = 19/12. Знаменатель остаётся 12, так как размер доли не изменился.
Проверим, можно ли сократить 19/12. Общего делителя у чисел 19 и 12, кроме 1, нет; неправильную дробь можно также представить смешанным числом: 1 7/12.
Ответ: 19/12, или 1 7/12.
Задача 3. За первый день израсходовали 2/5 запаса крупы, а за второй — 3/4 остатка. Какая часть первоначального запаса осталась? Здесь второй расход относится не ко всему запасу, а только к тому, что осталось после первого дня. Поэтому сначала найдём первый остаток, а затем вычислим расход от него.
После первого дня осталось 1 − 2/5 = 3/5 запаса. Единица здесь обозначает весь первоначальный запас.
За второй день израсходовали 3/4 от оставшихся 3/5: 3/4 · 3/5 = 9/20 первоначального запаса. Умножаем дроби, потому что нужно найти часть от части.
Вычтем второй расход из остатка после первого дня: 3/5 − 9/20 = 12/20 − 9/20 = 3/20. Общий знаменатель 20 позволяет вычитать доли одного размера.
Ответ: после двух дней осталось 3/20 первоначального запаса.
При сложении дробей иногда складывают знаменатели вместе с числителями: например, ошибочно получают 1/2 + 1/3 = 2/5. Так делают по аналогии со сложением целых чисел, но знаменатели задают размер долей. Чтобы проверить себя, приведите дроби к общему знаменателю: 1/2 + 1/3 = 5/6.
Другая ошибка — сравнивать дроби только по числителям. Это неверно, если знаменатели разные: например, 1/3 больше 1/5, хотя числители равны, потому что третья часть целого крупнее пятой. Перед сравнением проверьте, одинаковы ли знаменатели; если нет, приведите дроби к общему знаменателю.
При делении на дробь могут умножить на неё, не перевернув. Обратной должна стать именно дробь-делитель: например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Проверьте запись до вычислений: делимое остаётся прежним, а числитель и знаменатель делителя меняются местами.
При переводе десятичной дроби в обыкновенную иногда не учитывают число знаков после запятой. Например, 0,25 — это 25/100, а не 25/10: две цифры после запятой означают сотые. Для проверки запишите знаменатель 10, 100 или 1000 в зависимости от числа десятичных разрядов, а затем сократите дробь.
Чтобы уверенно работать с дробями, нужны навыки умножения и деления натуральных чисел, а также знание делителей и кратных. Они помогают сокращать дроби и находить общий знаменатель. Понимание разрядного состава десятичной записи нужно для перевода десятичных дробей в обыкновенные и обратно.
Действия с дробями используют, когда находят часть величины, решают задачи на отношения и пропорции или работают с измеренными величинами. Например, дробь помогает вычислить часть пути, массы или времени. Умение выбирать удобную форму записи упрощает такие вычисления.
Почему при сложении дробей нельзя складывать знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Складывать можно только доли одинакового размера, поэтому сначала дроби приводят к общему знаменателю. Например, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Как быстро найти общий знаменатель?
Найдите общее кратное знаменателей, то есть число, которое делится на каждый из них. Удобнее всего взять наименьшее общее кратное, если оно легко находится. Затем домножьте числитель и знаменатель каждой дроби на подходящее число.
Как понять, какая из двух дробей больше?
Если знаменатели одинаковые, больше та дробь, у которой числитель больше. Если одинаковые числители, больше дробь с меньшим знаменателем: её доли крупнее. В остальных случаях приведите дроби к общему знаменателю и сравните числители.
Почему при делении на дробь нужно умножать на обратную?
Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель. Деление на число можно заменить умножением на обратное число: произведение делителя и обратного ему числа равно 1. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4.
Всегда ли обыкновенную дробь можно записать конечной десятичной дробью?
Нет. После сокращения дроби её знаменатель должен содержать только простые множители 2 и 5, чтобы десятичная запись была конечной. Например, 3/8 = 0,375, а 1/3 = 0,333… — бесконечная периодическая десятичная дробь.
Подводим итоги
