Проект - Многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из многоугольников, соединённых по сторонам. Соседние многоугольники имеют общую сторону, а вместе они образуют замкнутую поверхность. Это определение помогает отличать многогранник от плоской фигуры и проверять, действительно ли многоугольники образуют тело.

Грань — многоугольник, входящий в поверхность многогранника. Она ограничена рёбрами, которые служат её сторонами. Понимание, где заканчивается одна грань и начинается другая, нужно, чтобы правильно считать части поверхности.

Ребро — общая сторона двух соседних граней, а вершина — точка, в которой сходятся рёбра. На модели куба, например, можно провести пальцем по ребру между двумя квадратами и увидеть, как у его конца встречаются рёбра в вершине. Эти три вида элементов — грани, рёбра и вершины — используют при описании и подсчёте многогранников.

Правильный многогранник — выпуклое тело, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и углы, а выпуклое тело не имеет вмятин. Оба условия нужны: одинаковые грани сами по себе ещё не гарантируют одинаковое устройство всего тела.

Как это устроено

Чтобы многоугольники образовали поверхность тела, их стороны соединяют так, чтобы у каждой стороны на поверхности была соседняя грань. Если оставить несоединённые края, поверхность получится открытой и не будет ограничивать целое тело. Поэтому при сборке важно проверить не только форму каждой грани, но и замыкание всей поверхности.

На модели грани удобно находить как отдельные плоские участки, а рёбра — как линии их стыка. На развёртке грани видны сразу, но некоторые рёбра после складывания станут общими, поэтому один и тот же будущий элемент нельзя считать дважды. Чтобы не ошибиться, отмечайте каждую грань и каждую линию стыка только один раз, а вершиной считайте место встречи рёбер, а не каждую нарисованную точку на линии.

Развёртка — плоская фигура из многоугольников, которые при складывании становятся гранями тела. Её части должны быть соединены по рёбрам, потому что именно по этим сторонам соседние грани будут соприкасаться. Если после складывания останется щель или одна грань наложится на другую, замкнутой поверхности не получится, даже если число и форма многоугольников кажутся подходящими.

Для любого выпуклого многогранника число вершин В, рёбер Р и граней Г связано формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Она работает потому, что при изменении формы выпуклого тела его поверхность можно мысленно развернуть в плоскую сеть, не меняя сочетания элементов; при этом указанная разность остаётся равной двум. Формула помогает проверить подсчёт, но сама по себе не доказывает, что произвольный набор чисел описывает существующий многогранник.

У правильного многогранника в каждой вершине сходятся одинаковые правильные многоугольники. Чтобы поверхность загибалась внутрь тела, сумма плоских углов этих граней должна быть меньше 360°: при сумме 360° они расположились бы в одной плоскости, а при большей величине не смогли бы образовать выпуклую вершину. При равносторонних треугольниках угол равен 60°, поэтому у вершины могут сходиться три, четыре или пять граней; для квадратов подходят три, а для правильных пятиугольников — тоже три. Для правильных многоугольников с большим числом сторон даже три угла дают не меньше 360°, поэтому других вариантов нет.

Пять выпуклых правильных многогранников

В таблице собраны все выпуклые правильные многогранники и числа их элементов. Форма грани вместе с устройством вершин позволяет различать эти тела. Сверяйте числа с формулой Эйлера, а при подсчёте рёбер по граням помните, что каждое ребро принадлежит двум граням.

Разбор задач

Задача 1. У модели многогранника 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Проверьте, согласуются ли эти числа с формулой Эйлера.

1. Запишем формулу для выпуклого многогранника: В − Р + Г = 2.
2. Подставим данные: 8 − 12 + 6 = 2.
3. Вычислим левую часть: 8 − 12 + 6 = 2. Равенство верное, значит числа согласуются с формулой.

Ответ: числа согласуются с формулой Эйлера.

Задача 2. Грани правильного многогранника — равносторонние треугольники, в каждой вершине сходятся пять граней. Определим тело и его элементы.

1. По форме грани и числу граней у вершины узнаём икосаэдр: у него сходятся по пять треугольников.
2. В таблице для икосаэдра находим 20 граней и 12 вершин.
3. В 20 гранях по три стороны, значит, при подсчёте сторон получаем 20 · 3 = 60. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому рёбер 60 : 2 = 30.
4. Проверим: 12 − 30 + 20 = 2, что подтверждает согласованность чисел.

Ответ: икосаэдр; 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин.

Задача 3. Дана развёртка из шести равных квадратов. Число граней совпадает с числом граней куба, но этого недостаточно для проверки: нужно знать расположение квадратов. Рассмотрим подходящую развёртку: к центральному квадрату примыкают четыре квадрата, а шестой прикреплён к внешнему ребру одного из четырёх.

1. Сложим четыре квадрата вокруг центрального: они образуют боковые стенки, а центральный станет основанием.
2. Шестой квадрат сложим как второе основание. Он должен закрыть верх, не наложившись на другие грани.
3. Если обозначить боковые грани как северную, южную, восточную и западную, то свободные рёбра верхнего квадрата совпадут с внешними рёбрами южной, восточной и западной граней. Его четвёртое ребро уже соединено с северной гранью.

Ответ: такая развёртка складывается в куб; при складывании совпадут попарно перечисленные свободные рёбра верхнего квадрата и боковых граней.

Типичные ошибки

При подсчёте рёбер по граням часто складывают число сторон всех граней и принимают результат за число рёбер. Ошибка возникает потому, что ребро видно как сторона каждой из двух соседних граней. Разделите сумму сторон на два и проверьте результат по модели или формуле Эйлера.

Грань, ребро и вершину иногда путают на рисунке, особенно если часть линий не видна. Причина в том, что все элементы нарисованы на плоскости, хотя обозначают разные части тела. Проверяйте себя по определению: грань — участок поверхности, ребро — стык граней, вершина — место встречи рёбер; невидимые линии тоже учитываются.

Нельзя считать любую фигуру из равных многоугольников правильным многогранником. Одинаковые грани могут соединяться так, что тело окажется невыпуклым или в разных вершинах будет сходиться разное число граней. Проверьте выпуклость, равенство и правильность граней, а также одинаковое устройство всех вершин.

При проверке развёртки легко ограничиться числом граней, не проследив, как они сложатся. Шесть квадратов могут располагаться так, что при складывании часть поверхности наложится или останется отверстие. Мысленно поднимайте грани по сторонам и убедитесь, что все края замыкаются без щелей и двойного покрытия.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и углы. Также важно различать плоскую фигуру и пространственное тело: многоугольник является гранью, а не всем многогранником. Эти знания помогают читать модели и понимать, как отдельные части образуют поверхность.

Формула Эйлера связывает тему с подсчётом элементов геометрических моделей и позволяет проверять результаты. Развёртки показывают, как поверхность тела складывается из плоских фигур. Позже они пригодятся при изучении площади поверхности и объёма тел.

Что запомнить

• Грань многогранника — многоугольник, ребро — общая сторона двух граней, вершина — место соединения рёбер.
• Поверхность многогранника должна быть замкнутой.
• У выпуклого многогранника В − Р + Г = 2.
• В подсчёте рёбер по граням каждое ребро учитывается у двух граней.
• Выпуклых правильных многогранников пять.
• Развёртка должна складываться в поверхность без щелей и наложений.