"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Рациональные вычисления помогают находить значение выражения быстрее и проще: слагаемые и множители переставляют или группируют, а числа представляют в удобном виде. Например, вместо сложного счёта можно сначала получить круглое число или заменить 19 на 20 − 1. Такие приёмы основаны на свойствах сложения и умножения. Главное — выбирать преобразование, которое сохраняет значение выражения, и проверять ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональные вычисления — это вычисления, в которых числа и действия удобно группируют или преобразуют, чтобы упростить счёт. Например, вместо последовательного сложения всех чисел можно сначала найти пару, которая даёт круглое число. Такой подход нужен, чтобы считать быстрее и уменьшать вероятность ошибки.
Переместительное свойство сложения и умножения означает, что порядок слагаемых или множителей можно менять, не меняя результата. Например, 8 + 12 = 12 + 8, а 2 · 5 = 5 · 2. Благодаря этому числа можно переставить так, чтобы удобные для счёта оказались рядом.
Сочетательное свойство сложения и умножения позволяет по-разному объединять слагаемые или множители в группы. Например, (4 + 6) + 9 = 4 + (6 + 9), а (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3). Это свойство помогает сначала выполнить действие в самой удобной группе.
Распределительное свойство умножения относительно сложения говорит, что произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Запись: a · (b + c) = a · b + a · c. Оно нужно, чтобы раскрывать скобки или заменять близкий к круглому множитель суммой либо разностью удобных чисел.
При сложении переместительное и сочетательное свойства позволяют сначала объединить числа, которые дают круглое значение. Причина в том, что порядок и способ группировки слагаемых не влияют на их общую сумму. Например, в выражении 37 + 68 + 63 выгодно сперва сложить 37 и 63: получится 100, к которому легко прибавить оставшееся число. Если складывать по порядку, можно получить тот же результат, но промежуточные действия будут менее удобными.
В произведении тоже можно менять порядок и способ группировки множителей, потому что результат умножения от этого не меняется. Ищите пары, которые дают 10, 100 или 1000: такие произведения обычно легко посчитать и затем умножить на оставшийся множитель. Например, в 25 · 4 · 7 сначала удобно выполнить 25 · 4 = 100. Это сокращает сложные промежуточные вычисления и помогает считать устно.
Распределительное свойство превращает умножение числа на сумму в несколько более простых произведений. Например, 6 · (10 + 3) = 6 · 10 + 6 · 3: умножить на каждую часть суммы можно отдельно, а потом сложить результаты. При разности действует тот же принцип, но произведения вычитаются: a · (b − c) = a · b − a · c. Такой способ удобен, когда скобки содержат числа, которые легко умножить по отдельности.
Множитель можно представить в виде суммы или разности удобных чисел, если так проще выполнить умножение. Например, 19 = 20 − 1, поэтому умножение на 19 можно заменить умножением на 20 и вычитанием одного исходного множителя. Круглые числа вроде 10, 20 или 100 часто дают простые произведения. Однако представление выбирают не автоматически: иногда разложение на части только добавит лишние действия.
Подходящий приём подсказывает вид выражения: при сложении ищите пары с круглой суммой, а в произведении — пары с удобным результатом. Если множитель близок к круглому числу, можно попробовать разность или сумму, например 19 = 20 − 1 или 21 = 20 + 1. Затем убедитесь, что использовали свойство, применимое к этому действию, и сохранили все знаки. Проверка прикидкой или другим способом помогает заметить неверное преобразование и оценить разумность ответа.
| Приём | На чём основан | Как применить | Пример |
|---|---|---|---|
| Перегруппировка слагаемых | Переместительное и сочетательное свойства сложения | Найти слагаемые, дающие круглую сумму, и сложить их первыми | 37 + 68 + 63 = (37 + 63) + 68 |
| Перестановка множителей | Переместительное свойство умножения | Поставить удобные множители рядом | 4 · 25 · 3 = 25 · 4 · 3 |
| Удобная группировка множителей | Сочетательное свойство умножения | Объединить множители в пары с простым произведением | (25 · 4) · 7 = 100 · 7 |
| Умножение на сумму | Распределительное свойство | Умножить число на каждое слагаемое в скобках и сложить произведения | 6 · (10 + 3) = 6 · 10 + 6 · 3 |
| Представление числа как суммы или разности удобных чисел | Распределительное свойство умножения | Заменить близкое к круглому число суммой или разностью | 48 · 19 = 48 · (20 − 1) |
Сначала определите, какой тип действия встречается в выражении, затем найдите числа, которые удобно объединить или заменить. В таблице показано, какое свойство оправдывает каждый приём и как именно его применить. Выбирайте способ, после которого остаётся меньше простых действий, и не забывайте проверить вычисление.
Вычислите 37 + 68 + 63. Здесь три слагаемых, и можно искать пару с круглой суммой. Числа 37 и 63 дают 100, поэтому их выгодно объединить первыми. Переместительное и сочетательное свойства позволяют сделать это без изменения результата.
Вычислите 25 · 17 · 4. Простое умножение по порядку потребовало бы сначала считать 25 · 17, а это неудобно. Зато среди множителей есть 25 и 4, произведение которых равно 100. Переставим их, чтобы воспользоваться этим удобным результатом.
Вычислите 48 · 19. Множитель 19 близок к круглому числу 20, поэтому представим его как 20 − 1. Теперь можно применить распределительное свойство и выполнить два более простых действия. Следите за знаком: произведение на 1 нужно вычесть.
Первая ошибка — переносить переместительное или сочетательное свойство на вычитание и деление. Ученик может решить, что 9 − 4 равно 4 − 9, потому что при сложении порядок слагаемых меняется. Но вычитание зависит от порядка чисел, как и деление; проверяйте результат вычислением исходного выражения.
При раскрытии скобок иногда умножают внешний множитель только на первое слагаемое. Например, запись 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 2 неверна, потому что число 3 должно умножаться на каждое слагаемое внутри скобок. Чтобы проверить себя, поставьте множитель перед каждым слагаемым и сравните вычисления с исходным выражением.
Если заменить 19 на 20 − 1, можно забыть вычесть произведение на 1 или случайно поставить перед ним плюс. Такая ошибка появляется, когда сосредоточиваются на удобном умножении на 20 и теряют исходный знак разности. Запишите замену в скобках и раскройте её по частям: 48 · 20 − 48 · 1.
Не всякое преобразование делает счёт легче: длинное разложение на неудобные числа может добавить вычисления и повысить риск ошибки. Иногда ученик выбирает первый пришедший в голову способ и не оценивает, насколько он удобен. Перед вычислением прикиньте, упростит ли приём выражение, а после сравните ответ с примерной оценкой или проверьте его другим способом.
Чтобы использовать рациональные вычисления, нужно знать порядок действий и свойства сложения и умножения. При работе со скобками пригодятся правила их раскрытия, в том числе распределительное свойство. Эти знания позволяют понять, почему преобразование допустимо, а не просто запомнить готовый приём.
Рациональные вычисления помогают при устном счёте и преобразовании числовых и буквенных выражений. Те же идеи пригодятся в задачах с дробями и процентами: удобное представление чисел и группировка действий могут упростить вычисления. Чем увереннее ученик применяет свойства действий, тем легче ему выбирать короткий и понятный путь решения.
Как понять, какие числа в выражении удобнее объединить?
Ищите слагаемые, которые вместе дают круглое число, например 37 и 63. Среди множителей удобно объединять пары с произведением 10, 100 или 1000. После перестановки или группировки проверьте, действительно ли счёт стал проще.
Можно ли менять местами слагаемые при вычитании?
Нет, переместительное свойство относится к сложению, а не к вычитанию. Например, 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5. Чтобы изменить порядок при вычитании, сначала нужно представить выражение как сумму чисел с подходящими знаками.
Почему при умножении на сумму нужно умножить на каждое слагаемое?
Так устроено распределительное свойство: число умножается на всю сумму, то есть на каждую её часть. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Если умножить только на первое слагаемое, часть суммы потеряется и результат изменится.
Как вычислить произведение, если один из множителей близок к круглому числу?
Представьте множитель как круглое число плюс или минус небольшое число. Например, 19 можно заменить на 20 − 1, а затем применить распределительное свойство: 48 · 19 = 48 · 20 − 48 · 1. Так часто проще посчитать в уме.
Как проверить, что рациональное преобразование не изменило значение выражения?
Сравните исходное и преобразованное выражения, используя свойства действий, и проверьте вычисления обратным способом или прикидкой. Например, оцените, каким примерно должен быть ответ. Для небольших чисел можно также вычислить значение исходного выражения напрямую.
Урок 23.Приемы рациональных вычислений
