Урок 3.Сравнение долей

Определения и обозначения

Доля — одна из равных частей целого. Части называют равными, если они имеют одинаковый размер: только тогда каждая из них представляет одну и ту же часть целого. Если разрезать пирог на куски разной величины, один кусок нельзя считать такой же долей, как другой. Это понятие помогает описывать части предметов и величин.

Единичная доля — одна из равных частей, на которые разделили целое; её записывают как 1/n. Например, 1/5 означает одну часть из пяти равных частей. Число n здесь должно быть натуральным и показывает число получившихся частей. Такая запись нужна, чтобы коротко обозначать одну долю целого.

Знаменатель дроби — число равных частей целого; в записи 1/n он показывает, на сколько частей разделили целое. Например, знаменатель 8 в дроби 1/8 говорит о делении на восемь равных частей. Чем больше частей получилось, тем меньшей будет каждая из них, если исходное целое одно и то же. Поэтому знаменатель помогает судить о размере единичной доли.

Числитель дроби — число частей, которые рассматривают; в записи 1/n числитель равен единице. В дроби 3/8 число 3 означает, что взяли три части из восьми равных частей целого. Числитель помогает понять, сколько долей одного размера составляют рассматриваемую часть. Он записывается над чертой дроби.

Как это устроено

Сравнивать доли можно только тогда, когда целые, от которых их взяли, одинаковы по величине. Иначе одна и та же доля от большого целого может оказаться больше доли от маленького целого. Например, половина большой пиццы не обязательно меньше четверти маленькой. Поэтому прежде чем сравнивать записи, убедись, что речь идёт об одинаковых целых.

Если одинаковое целое разделить на большее число равных частей, каждая часть станет меньше. Представь одну и ту же полоску: при делении на пять частей каждый кусок длиннее, чем при делении на восемь. Значит, одна пятая больше одной восьмой: 1/5 > 1/8. В знаменателе указано число частей, поэтому здесь большее число означает более мелкую единичную долю.

Когда знаменатели равны, целое разделили на одинаковое число равных частей, значит, каждая часть имеет одинаковый размер. Остаётся посчитать, сколько таких частей взяли: большее число частей составляет большую долю целого. Поэтому 5/8 > 3/8. Это правило работает именно потому, что сравниваются части одинакового размера, а не разные по величине куски.

Когда числители одинаковы, рассматривается одинаковое число частей, но размер каждой части может различаться. Если одно целое поделили на пять частей, а другое такое же — на семь, каждая пятая часть будет больше каждой седьмой. Поэтому из дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше: 2/5 > 2/7. Мы сравниваем две части одного размера в каждой дроби, а не число делений само по себе.

Проверить сравнение можно рисунком: изобразить одинаковые целые, разделить каждое на столько равных частей, сколько указано в знаменателе, и закрасить столько частей, сколько показывает числитель. Затем сравнить закрашенные области. Рисунок особенно полезен, когда правило пока трудно представить мысленно. Он также помогает заметить ошибку: если целые на рисунке получились разного размера, сравнение построено неверно.

Как сравнивать доли

Сначала проверь, что сравниваемые доли относятся к одинаковым по величине целым. Затем посмотри, какие числа совпадают: знаменатели или числители, и выбери соответствующее правило. Если остаются сомнения, изобрази доли на рисунке.

Разбор задач

Сравните доли 1/4 и 1/6 одного и того же целого.

В условии прямо сказано, что целое одно и то же, поэтому сравнение допустимо. У обеих дробей числитель равен 1: рассматривается по одной части. Чем на большее число частей поделено целое, тем меньше каждая часть.

1. Сравним знаменатели: 4 меньше 6.
2. При делении на четыре равные части каждая часть крупнее, чем при делении того же целого на шесть частей.
3. Значит, единичная доля с меньшим знаменателем больше: 1/4 > 1/6.

Ответ: 1/4 > 1/6.

Сравните 3/8 и 5/8 одного и того же целого.

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель 8, следовательно, целое поделено на восемь равных частей в обоих случаях. Размер одной части совпадает, и различается только количество взятых частей. Поэтому достаточно сравнить числители.

1. Сравним числа в числителях: 3 < 5.
2. Три части одного размера меньше пяти частей того же размера.
3. Следовательно, 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 < 5/8.

Сравните 2/5 и 2/7 одного и того же целого, объяснив ответ с помощью рисунка.

Числители равны, поэтому в каждой дроби рассматриваются две части. Чтобы понять, какие части крупнее, представим два одинаковых прямоугольника: один разделим на пять равных полос, другой — на семь. Полосы в первом прямоугольнике будут шире, потому что одинаковую длину делят на меньшее число частей.

1. Нарисуем два одинаковых прямоугольника и разделим первый на 5, а второй на 7 равных частей.
2. В каждом прямоугольнике закрасим по 2 части, как показывает числитель.
3. Две более широкие полосы занимают большую область, поэтому 2/5 > 2/7.

Ответ: 2/5 > 2/7. Рисунок подтверждает правило: при равных числителях больше доля с меньшим знаменателем.

Типичные ошибки

Одна ошибка — сравнивать доли от целых разной величины так, будто эти целые одинаковы. Её допускают, потому что смотрят только на дробные записи и забывают, что размер исходного предмета влияет на размер частей. Проверь себя: уточни, одно ли и то же целое сравнивается; если нет, сначала сопоставь размеры самих целых.

Другая ошибка — считать, что у единичной доли больший знаменатель означает больший размер. Так происходит, если воспринимать знаменатель как размер части, а не как число частей целого. Представь одинаковую полоску, разделённую на 4 и на 8 частей: в первом случае куски крупнее, значит, 1/4 > 1/8.

При одинаковых знаменателях иногда сравнивают знаменатели, хотя они совпадают, и не замечают числители. Это может случиться, если правило вспоминают невнимательно и не выясняют, какие числа различаются. Проверь записи сверху: при одинаковом числе снизу сравнивай числители, например 2/9 < 6/9.

При одинаковых числителях ошибочно выбирают дробь с большим знаменателем как большую. Обычно путают количество частей, на которые разделили целое, с размером каждой части. Проверка проста: возьми одинаковые целые и представь деление на оба знаменателя; там, где частей меньше, каждая крупнее, поэтому при одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.

Связь с другими темами

Перед сравнением долей нужно понимать, что целое можно разделить на равные части, и уметь считать такие части. Без равенства частей запись вроде 1/5 не описывает однозначную долю: разные по размеру куски нельзя считать одинаковыми пятыми. Поэтому навыки деления целого на равные части служат основой для работы с дробями. Они также помогают замечать, от какого целого взята доля.

Сравнение долей пригодится при дальнейшем изучении обыкновенных дробей и при решении задач на части величины. Например, можно выяснить, какая часть пути пройдена или какая часть набора предметов осталась. Понимание числителя и знаменателя помогает не только сравнивать дроби, но и объяснять, что именно они обозначают. Позже эти знания станут опорой для действий с дробями.

Что запомнить

• Доли сравнивают, если целые одинаковы по величине.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей рассматривают.
• Из единичных долей больше та, у которой знаменатель меньше.
• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.
• При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.