Фестиваль идей. И снова точки и линии

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект без длины и ширины, который обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Если точек несколько, каждой дают свою букву, чтобы не перепутать их. Точки нужны для обозначения положения и задания других фигур.

Прямая — линия, не имеющая начала и конца. Её обозначают двумя различными точками, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. Прямая помогает описывать бесконечное направление и положение фигур на плоскости.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают буквами его концов: AB или BA. В отличие от прямой, отрезок имеет конечную длину.

Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. Его обозначают двумя буквами: первая показывает начало, а вторая — любую точку, через которую проходит луч, например луч AB. Порядок букв здесь важен, потому что он задаёт направление.

Как это устроено

Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Если бы через точки A и B проходили две разные прямые, у них были бы две общие точки, а это означало бы, что они должны совпадать. Поэтому две точки не просто лежат на прямой, а однозначно задают её.

Прямая не ограничена ни с одной стороны и продолжается бесконечно. Отрезок получается, когда на прямой выбирают два конца и оставляют только часть между ними. Луч занимает промежуточное положение: он начинается в одной точке, но в выбранную сторону продолжается без конца.

Точки, лежащие на одной прямой, называют лежащими на одной прямой. Чтобы проверить принадлежность точки прямой, достаточно посмотреть, проходит ли линия через эту точку; при построении можно приложить линейку к двум уже известным точкам. Если точка находится вне линии, она прямой не принадлежит.

Две прямые на плоскости могут пересекаться или не иметь общих точек. Если у них есть одна общая точка, прямые пересекаются; второй общей точки быть не может, иначе это была бы одна и та же прямая. Прямые, которые не имеют общих точек, называют параллельными и обозначают так: a ∥ b.

Чтобы получить луч, на прямой отмечают точку начала и выбирают направление движения от неё. Например, луч AB начинается в A и проходит через B, а дальше продолжается бесконечно. Если изменить начало на B, получится луч BA, который обычно направлен иначе и является другой фигурой.

Точка, прямая, отрезок и луч

Сначала определите, ограничена ли фигура с одной или с двух сторон. Затем проверьте запись: у прямой порядок двух букв не меняет фигуру, а у луча меняет. Таблица помогает быстро сравнить основные признаки и не перепутать похожие обозначения.

Разбор задач

Задача 1. Отметим точки A и B и проведём через них прямую. Требуется записать два способа её обозначения. Здесь используются именно две различные точки, поэтому они однозначно задают одну прямую.

1. Поставим на плоскости точки A и B.
2. Приложим линейку к точкам и проведём линию в обе стороны, чтобы показать бесконечность прямой.
3. Запишем обозначение по точкам сначала в порядке A, B, а затем B, A.

Ответ: прямую можно обозначить AB и BA; это одна и та же прямая.

Задача 2. На прямой расположены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Нужно назвать отрезки и лучи, которые задаются этими точками. Положение B позволяет понять, какие лучи совпадают, хотя записываются разными буквами.

1. Выберем любые две точки как концы: получаются отрезки AB, BC и AC.
2. Запишем лучи с началом в каждой точке: AB, AC, BA, BC, CA и CB.
3. Учтём расположение точек: лучи AB и AC совпадают, а лучи CB и CA тоже совпадают; BA и BC направлены в противоположные стороны.

Ответ: отрезки AB, BC, AC; различные лучи AB (он же AC), BA, BC и CB (он же CA).

Задача 3. Нужно провести через точку M прямые a и b, пересекающиеся в M, а также прямую c, не имеющую общих точек с a. Сначала зададим пересекающиеся прямые, затем построим линию, параллельную одной из них. Так можно описать взаимное расположение всех трёх прямых.

1. Проведём через M прямую a.
2. Проведём через M другую прямую b, не совпадающую с a; тогда a и b пересекаются в M.
3. Проведём прямую c в направлении, параллельном a, но не через точки прямой a.

Ответ: a и b — пересекающиеся прямые, их общая точка M; a и c — параллельные прямые, то есть a ∥ c. Прямая c не имеет с a общих точек.

Типичные ошибки

Иногда считают, что у прямой есть концы, потому что на рисунке виден ограниченный участок линии. Так происходит, если изображение путают с самой фигурой. Проверьте себя: у прямой должны быть стрелки в обе стороны, показывающие продолжение без конца.

Луч AB часто путают с лучом BA, поскольку в обеих записях стоят одни и те же буквы. Ошибка возникает из-за забывчивости: первая буква луча всегда обозначает начало. Чтобы проверить запись, мысленно начните движение именно от первой буквы.

Некоторые думают, что через одну точку можно провести только одну прямую. Через одну точку, наоборот, можно провести сколько угодно различных прямых, если не задать вторую точку. Единственная прямая определяется двумя различными точками.

Параллельные прямые иногда считают пересекающимися за пределами листа. Так бывает, когда бесконечные прямые представляют как края рисунка, которые можно мысленно продолжить под углом. На плоскости параллельные прямые не имеют общих точек ни на рисунке, ни за его пределами.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся умения пользоваться линейкой, отмечать точки и представлять плоскость как место расположения фигур. Линейка помогает провести линию через две точки и проверить, лежит ли точка на прямой.

Прямая и отрезок понадобятся при изучении углов, многоугольников и построении геометрических чертежей. Стороны многих фигур являются отрезками, а их продолжения образуют прямые и лучи.

Параллельные прямые важны при изучении свойств геометрических фигур и координатной плоскости. По их направлению можно сравнивать расположение линий и строить более сложные чертежи.

Что запомнить

• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Порядок букв в обозначении луча указывает на его начало.
• Параллельные прямые не имеют общих точек.