"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Множество — это совокупность объектов, которые объединены общим признаком. Объект, входящий в эту совокупность, называют элементом множества. Такое понятие помогает описывать группы чисел, букв и предметов, а затем рассуждать о них как об одном целом. Множества обычно обозначают прописными буквами, а их элементы записывают в фигурных скобках. Состав множества можно задать перечислением элементов или указанием признака, по которому их выбирают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, объединённых по некоторому признаку. Например, числа 2, 4 и 6 можно объединить в множество чётных чисел. Общий признак помогает понять, какие объекты рассматриваются вместе, а какие к этой совокупности не относятся.
Элемент множества — отдельный объект, входящий в состав множества. Если множество букв содержит к, л и м, каждая из этих букв является его элементом. Понятие элемента позволяет говорить о составе множества по частям и проверять, входит ли в него конкретный объект.
Принадлежность объекта множеству обозначают знаком ∈, а непринадлежность — знаком ∉. Запись 2 ∈ A означает, что число 2 является элементом множества A; запись 3 ∉ A означает, что число 3 в A не входит. Эти обозначения помогают коротко и точно записывать результат проверки.
Задание множества — описание того, какие объекты входят в него. Можно перечислить элементы, например A = {2, 4, 6}, или указать общее свойство: A — множество чётных чисел из заданного набора. Первый способ показывает состав напрямую, второй позволяет определить его по признаку.
Предметы или числа объединяют в множество, когда их удобно рассматривать как одну группу. Например, можно собрать в множество все тетради на столе или числа, делящиеся на 2. Общий признак служит правилом отбора: он объясняет, почему одни объекты входят в группу, а другие остаются за её пределами. Без такого правила состав множества может быть непонятен.
Множество обычно обозначают прописной латинской буквой, например A или B, а его элементы помещают в фигурные скобки: A = {2, 4, 6}. Буквенное обозначение удобно, потому что в дальнейших рассуждениях не приходится каждый раз переписывать весь состав. Фигурные скобки показывают, какие объекты собраны вместе. Если множество задают свойством, рядом с обозначением поясняют, какие именно объекты этому свойству удовлетворяют.
Порядок элементов в фигурных скобках не определяет состав множества. Записи {2, 4, 6} и {6, 2, 4} называют одно и то же множество, потому что в обеих указаны числа 2, 4 и 6. Множество описывает, какие элементы в него входят, а не последовательность их перечисления. Поэтому перестановка элементов не создаёт нового множества.
Чтобы проверить принадлежность, нужно выяснить, входит ли объект в состав множества или удовлетворяет ли он условию, которым множество задано. Если входит, записывают объект, затем знак ∈ и обозначение множества: 4 ∈ A. Если не входит, используют знак ∉: 5 ∉ A. Такая проверка полезна, например, когда нужно определить, является ли данное число решением задачи, описанной через множество.
При задании перечислением называют каждый элемент, поэтому такой способ удобен для небольших множеств с известным составом. При задании общим свойством описывают правило отбора, а элементы находят по этому правилу. Например, для множества чисел из определённого набора можно указать признак «чётное число», а затем выбрать все подходящие числа. Если элементов очень много или их бесконечно много, перечислить их все нельзя, поэтому используют свойство.
| Понятие или обозначение | Что означает | Пример записи |
|---|---|---|
| Множество | Совокупность объектов, объединённых признаком | A = {2, 4, 6} |
| Элемент множества | Отдельный объект в составе множества | 2 — элемент A |
| Принадлежность множеству | Объект входит в множество | 2 ∈ A |
| Непринадлежность множеству | Объект не входит в множество | 3 ∉ A |
| Задание множества перечислением | Все элементы называют по одному | A = {2, 4, 6} |
| Задание множества общим свойством | Указывают признак всех элементов | Чётные числа из набора |
В таблице найдите способ задания множества, а затем сравните его с примером записи. Для проверки принадлежности сперва определите, какой состав или признак задан. После этого выберите знак ∈ или ∉.
Задача 1. Из чисел 2, 5, 8, 11 составьте множество чётных чисел и запишите, какие из данных чисел ему принадлежат. Сначала выделим общий признак: число должно делиться на 2 без остатка. Проверим по этому признаку каждое число из набора. Затем запишем получившееся множество и отношения чисел к нему.
Ответ: A = {2, 8}; числа 2 и 8 принадлежат множеству, а 5 и 11 не принадлежат. Признак помог отобрать нужные элементы, а знаки коротко показали результат проверки. Задача 2. Дано множество A = {к, л, м, н}. Запишите утверждения о принадлежности букв к множеству A.
Ответ: к ∈ A, л ∈ A, м ∈ A, н ∈ A; о ∉ A. Здесь решение не требует вычислений: достаточно внимательно сверить объект с элементами множества. Задача 3. Запишите перечислением множество однозначных натуральных чисел, кратных 3, а затем проверьте, совпадает ли оно с {3, 6, 9}.
Ответ: множество равно {3, 6, 9}, значит, с указанным множеством оно совпадает. Мы сначала применили общий признак к ограниченному набору чисел, а затем проверили, что в обеих записях стоят одни и те же элементы.
Запись множества в круглых скобках вместо фигурных — ошибка в обозначении. Скобки могут напомнить другие математические записи, поэтому важно проверять, что именно записывается: состав множества всегда заключают в фигурные скобки. Например, следует писать {2, 4}, а не (2, 4). Перед сдачей ответа сравните скобки с образцом обозначения множества.
Иногда считают, что перестановка элементов создаёт другое множество. Так происходит, если путают порядок записи с составом объектов. Но {2, 4, 6} и {6, 4, 2} содержат одни и те же элементы. Проверьте себя: если после перестановки не появилось новых элементов и ни один не исчез, множество не изменилось.
Повторение элемента тоже не меняет состав множества, поэтому записывать его несколько раз не нужно. Повтор могут допустить, если воспринимать перечисление как список, где важны все записи подряд. В множестве учитывают сам факт вхождения элемента, а не количество его повторов. Проверьте фигурные скобки и оставьте каждый элемент только один раз.
Знаки ∈ и ∉ иногда путают или используют для сравнения двух множеств. Причина в том, что оба знака похожи и стоят между обозначениями, но они показывают именно отношение отдельного объекта к множеству. Например, 2 ∈ A верно, если 2 входит в A, а 2 ∉ A — если не входит. Чтобы проверить запись, спросите себя, является ли левая часть отдельным объектом, а правая — множеством.
Для работы с множествами полезно уметь распознавать числа, предметы и их общие признаки, а также правильно пользоваться фигурными скобками. Позже это понятие понадобится при изучении числовых множеств, их объединения и пересечения. При решении уравнений и неравенств множество помогает записывать все подходящие значения переменной. Проверка принадлежности показывает, входит ли конкретное число в множество решений.
Почему множество обозначают прописной буквой, а элементы записывают строчными?
Это удобное соглашение: прописная буква обозначает всю совокупность, а строчные буквы часто используют для отдельных объектов. Например, A может обозначать множество, а к — один из его элементов. Это не обязательное правило о природе объектов, а способ делать записи понятнее.
Можно ли менять порядок элементов в записи множества?
Да, порядок не меняет состав множества. Записи {2, 5, 8} и {8, 2, 5} обозначают одно и то же множество. Важно лишь, чтобы были указаны одни и те же элементы.
Почему нельзя записывать один элемент множества несколько раз?
Множество учитывает, входит ли объект в его состав, а не сколько раз он назван. Поэтому {2, 5, 5, 8} и {2, 5, 8} — одно и то же множество. Повтор не добавляет нового элемента.
Чем отличаются знаки ∈ и ∉?
Знак ∈ означает, что объект входит в множество: например, 2 ∈ {2, 4}. Знак ∉ означает, что объект в него не входит: 3 ∉ {2, 4}. Эти знаки связывают отдельный объект с множеством.
Как задать множество, если невозможно перечислить все его элементы?
Можно указать общее свойство, которому должны удовлетворять все элементы множества. Например, множество натуральных чисел, кратных 3, задаётся признаком делимости на 3. Такой способ подходит и для множеств, в которых элементов бесконечно много.
Урок 1. Что такое множество?
