Урок 3. Вычитание

Определения и обозначения

Вычитание — действие, с помощью которого находят, сколько останется после удаления части или на сколько одно число меньше другого. Например, если из 8 карандашей взять 3, вычитание покажет, сколько осталось. Оно также позволяет сравнить количества: разность покажет, сколько предметов не хватает меньшему количеству до большего. Поэтому сначала нужно понять, что именно спрашивают в задаче.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. Оно стоит первым в записи, например в выражении 8 − 3 уменьшаемое — 8. В задаче на удаление это количество, которое было до того, как часть убрали. Понимание этого термина помогает выбрать правильное первое число.

Вычитаемое — число, которое вычитают. В выражении 8 − 3 вычитаемое — 3, то есть количество взятых карандашей. Оно показывает, сколько предметов убрали или насколько сравниваемое количество меньше. Если перепутать его с уменьшаемым, получится выражение с другим смыслом.

Разность — результат вычитания и выражение, записанное знаком «−». Например, в записи 8 − 3 = 5 число 5 — разность, а 8 − 3 — выражение-разность. Результат показывает, сколько осталось или какова разница между количествами. Это название помогает отличать ответ от чисел, которые участвуют в действии.

Как это устроено

В бытовой ситуации вычитание возникает, когда часть предметов убирают: было некоторое количество, несколько предметов взяли, и требуется узнать остаток. Первое число тогда описывает всё начальное количество, а второе — убранную часть. Вычитание нужно и при сравнении: если на одной полке книг больше, разность показывает, сколько книг составляет это превышение. В обоих случаях ищут, насколько одно количество отличается от другого.

Запись a − b связана со сложением обратным вопросом: какое число надо прибавить к b, чтобы получить a? Это число и будет разностью. Например, в 9 − 6 ищем, сколько нужно добавить к 6, чтобы стало 9; ответ — 3, потому что 6 + 3 = 9. Такая связь объясняет и смысл действия, и способ проверить вычисление.

Чтобы определить компоненты примера, прочитайте запись слева направо. Первое число — уменьшаемое, второе — вычитаемое, число после знака равенства — разность. Например, в 12 − 5 = 7 из 12 убрали 5, и получили 7. Такое называние частей помогает не менять числа местами при вычислении.

Если предметы можно пересчитать, уберите нужное количество и сосчитайте оставшиеся. На числовом ряду вычитанию соответствует движение влево: от начального числа делают столько переходов назад, сколько показывает вычитаемое; само начальное число шагом не считается. Ещё один способ — подобрать число, которое вместе с вычитаемым даст уменьшаемое. Выбор способа зависит от примера, но каждый должен приводить к одному результату.

При вычитании нуля не убирают ни одного предмета, поэтому всё исходное количество сохраняется: a − 0 = a. Если же вычесть число из самого себя, будут убраны все предметы, и останется 0: a − a = 0. Эти случаи полезно помнить, потому что они сразу дают ответ без пересчёта. Они также позволяют быстро проверить, верно ли составлено выражение.

Компоненты и основные случаи вычитания

Сначала найдите в примере уменьшаемое и вычитаемое, затем вычислите разность. Строки с нулём показывают случаи, когда ответ можно определить сразу. Для проверки используйте последнюю строку: сложите найденную разность с вычитаемым.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 8 карандашей, 3 карандаша взяли. Сколько карандашей осталось? Здесь спрашивают об остатке, значит, нужно от начального количества отнять то, что убрали. Начальным количеством служат 8 карандашей, а вычитаемым — 3.

1. Запишем действие: 8 − 3. Первым ставим число карандашей, которое было в коробке, потому что именно из него удаляют часть.
2. Отсчитаем от 8 три шага влево: 7, 6, 5. Значит, после того как взяли 3 карандаша, осталось 5.
3. Проверим сложением: 5 + 3 = 8. Получилось исходное количество, поэтому вычисление верно.

Ответ: 5 карандашей. Проверка здесь подтверждает не только вычисление, но и то, что выбранные числа соответствуют условию. Если бы требовалось узнать, сколько взяли, пришлось бы искать другой компонент. Содержание вопроса определяет действие.

Задача 2. На первой полке 9 книг, а на второй 6 книг. На сколько книг на первой полке больше? Здесь ничего не убирают: нужно сравнить два количества. Чтобы найти, сколько книг составляет превышение, узнаем, сколько нужно прибавить к 6, чтобы получить 9.

1. Запишем разность 9 − 6. Первым ставим большее количество, потому что выясняем, на сколько оно превосходит меньшее.
2. Вычтем: от 9 отсчитаем шесть шагов влево и получим 3. Значит, до количества книг на первой полке на второй не хватает трёх книг.
3. Проверим подбором: к 6 прибавим 3, получится 9. Это подтверждает, что разность найдена верно.

Ответ: на 3 книги. Сравнение можно представить и так: если добавить к 6 книгам ещё 3, количества станут равными. Поэтому результат показывает именно разницу, а не общее число книг на полках. В задаче важно заметить вопрос «на сколько больше».

Задача 3. Найти неизвестное число в равенстве 7 − □ = 4 и проверить ответ. В пустом месте стоит вычитаемое: оно показывает, сколько вычли из 7. Вместо того чтобы перебирать числа наугад, воспользуемся связью вычитания со сложением. Нужно найти число, которое вместе с 4 даёт 7.

1. Запишем подбор: 4 + □ = 7. Ищем недостающую часть до 7; от 4 до 7 нужно пройти три шага.
2. Значит, в пустое место ставим 3. Получаем равенство 7 − 3 = 4.
3. Проверим сложением: 4 + 3 = 7. Проверка показывает, что выбранное вычитаемое восстанавливает уменьшаемое.

Ответ: 3. В этом примере сложение помогло найти неизвестное число, а затем проверить результат. Такой приём пригодится, если один из компонентов вычитания неизвестен. Важно составить проверку с теми числами, которые стоят в исходном равенстве.

Типичные ошибки

Уменьшаемое и вычитаемое иногда путают, если не связывают запись с условием задачи. Тогда вместо начального количества первым ставят число убранных предметов. Определите, из какого количества удаляют часть, и поставьте его перед знаком «−». Проверить выбор помогает вопрос задачи: остаток не может быть больше того, что было сначала.

Другая ошибка — менять числа в разности местами, будто от перестановки ничего не изменится. Это свойство относится к сложению, но не к вычитанию: 9 − 6 и 6 − 9 имеют разный смысл. Перед вычислением назовите числа по ролям и сверьте их с условием. Если вычитают натуральное число, разность не должна быть больше уменьшаемого.

При движении по числовому ряду начальное число могут ошибочно посчитать первым шагом. Тогда переходов получится на один меньше, чем нужно. Начните с уменьшаемого и отсчитывайте только переходы к соседним числам влево; их должно быть ровно столько, сколько указано в вычитаемом. Например, от 8 три шага — это 7, 6, 5, а не 6.

Иногда забывают проверить ответ или получают разность больше уменьшаемого. Для проверки сложите разность с вычитаемым: должен получиться исходный результат. Если сложение не восстанавливает уменьшаемое, вернитесь к вычислению и проверьте число шагов. А при вычитании натурального числа убедитесь, что ответ не вырос относительно начального числа.

Связь с другими темами

Для вычитания пригодятся умение считать предметы, сравнивать количества, ориентироваться в числовом ряду и знать состав чисел. Эти навыки помогают выбрать действие и выполнить его разными способами. Связь со сложением позволяет проверять разность и находить неизвестный компонент. Дальше вычитание понадобится при решении текстовых задач, поиске неизвестных чисел и освоении письменного вычитания.

Что запомнить

• Вычитание обозначают знаком «−».
• Первое число в записи вычитания — уменьшаемое.
• Второе число — вычитаемое.
• Результат вычитания называют разностью.
• При вычитании число уменьшается или остаётся прежним.
• Если вычесть ноль, число не изменится.
• Вычитание можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.