13. Двузначные числа

Определения и обозначения

Двузначное число — число, для записи которого нужны две цифры; первая цифра не равна нулю. Например, 28 записано цифрами 2 и 8, а запись 08 обозначает число 8, а не отдельное двузначное число. Это определение помогает отличать количество цифр в записи от вида записи с нулём впереди.

Разряд десятков — место цифры, показывающей, сколько в числе десятков. В числе 28 цифра 2 стоит в разряде десятков и обозначает два десятка, то есть 20. Понимание этого разряда помогает не принимать цифру за число отдельных предметов.

Разряд единиц — место цифры, показывающей, сколько в числе отдельных единиц. В числе 28 цифра 8 стоит в разряде единиц и означает восемь единиц. Этот разряд нужен, чтобы узнать, сколько предметов осталось после выделения полных десятков.

Разрядная запись числа — представление двузначного числа как суммы десятков и единиц. Например, число 28 можно записать так: 28 = 20 + 8. Такая запись показывает состав числа и помогает выполнять вычисления, не путая значения цифр.

Как это устроено

Двузначными являются числа от 10 до 99, потому что для их записи нужны ровно две цифры, причём первая не нулевая. Число 9 записывается одной цифрой, а при переходе к следующему числу, 10, появляется разряд десятков. После 99 следует 100: в нём уже три цифры, так как набирается десять десятков. Поэтому границы двузначных чисел — 10 и 99.

Значение цифры зависит от места, которое она занимает в записи. В двузначном числе первая цифра обозначает десятки, а вторая — единицы. Например, в 36 цифра 3 означает 30, а не три отдельные единицы; цифра 6 означает шесть единиц. Если поменять цифры местами, получится другое число с иным количеством десятков и единиц.

Чтобы представить число как сумму разрядных слагаемых, нужно заменить каждую цифру её значением в данном разряде. В числе 47 цифра 4 означает четыре десятка, то есть 40, а цифра 7 — семь единиц. Складывая эти части, получаем 47 = 40 + 7. Такое разложение удобно при вычислениях, потому что отделяет десятки от единиц.

Число по количеству десятков и единиц записывают в неизменном порядке: сначала десятки, потом единицы. Если дано три десятка и шесть единиц, цифра 3 занимает первое место, а цифра 6 — второе, поэтому получается 36. Этот порядок следует из значения разрядов, а не из того, какая цифра кажется больше. При записи важно проверять, что число десятков стоит слева.

Двузначные числа сравнивают, начиная с разряда десятков, потому что десятки задают основную часть числа. Если десятков в одном числе больше, то и всё число больше: например, 72 больше 67. Когда десятков поровну, сравнение переходит к единицам: в 67 их больше, чем в 64, поэтому 67 больше 64. Сравнивать сначала единицы нельзя: их значение меньше значения десятков.

Разряды двузначного числа

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите цифру в каждом разряде, а затем прочитайте её значение как количество десятков или единиц. Например, в строке числа 83 цифра 8 означает восемь десятков, а цифра 3 — три единицы. Последний столбец показывает, как эти части складываются в исходное число.

Разбор задач

Задача 1. Запишите цифрами число, в котором 3 десятка и 6 единиц. Нужно определить, какая цифра занимает каждый разряд. Порядок записи всегда начинается с десятков.

1. Количество десятков равно 3, поэтому на первое место ставим цифру 3.
2. Количество единиц равно 6, поэтому на второе место ставим цифру 6.
3. Соединяем цифры в указанном порядке и проверяем: число содержит три десятка и шесть единиц.

Ответ: 36. Проверка разрядной записью: 36 = 30 + 6, значит, в числе действительно 3 десятка и 6 единиц. Если записать 63, количество десятков изменится, поэтому такое число не подходит.

Задача 2. Представьте число 58 в виде суммы разрядных слагаемых и укажите, сколько в нём десятков и единиц. Сначала определим разряд каждой цифры, а затем запишем её значение. Нельзя записывать цифру 5 как пять единиц, потому что она стоит в разряде десятков.

1. Первая цифра числа — 5, значит, в числе пять десятков, или 50.
2. Вторая цифра — 8, значит, в числе восемь единиц.
3. Складываем значения разрядов: 50 + 8 = 58.

Ответ: 58 = 50 + 8; в числе 5 десятков и 8 единиц. Проверка: сумма разрядных слагаемых должна совпасть с исходным числом. Если получилось 5 + 8, значит, значение цифры десятков было определено неверно.

Задача 3. Сравните числа 67 и 72, а затем 67 и 64. Объясним порядок действий: сначала рассматриваем десятки, поскольку они определяют основную часть числа. Только при равенстве десятков нужно переходить к единицам.

1. В 67 — 6 десятков, а в 72 — 7 десятков. Так как 6 меньше 7, получаем 67 < 72.
2. В числах 67 и 64 одинаково по 6 десятков, поэтому сравниваем единицы.
3. Сравниваем 7 и 4: 7 больше 4, значит, 67 > 64.

Ответ: 67 < 72; 67 > 64. Проверка: в первом сравнении достаточно разряда десятков, а во втором он одинаков, поэтому решение определяется единицами. Такой порядок позволяет не ошибиться, если цифры единиц кажутся больше у меньшего числа.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что в числе 36 цифра 3 обозначает три единицы. Так думают, если смотрят только на саму цифру и не учитывают её место. Проверка простая: первая цифра двузначного числа стоит в разряде десятков, поэтому 36 = 30 + 6.

Ошибка: записать 4 десятка и 2 единицы как 24. Цифры в таком случае переставлены, потому что десятки должны стоять первыми, слева. Чтобы проверить запись, прочитайте её разряды: в 24 всего два десятка, а требовалось четыре, значит, верная запись — 42.

Ошибка: считать запись с нулём в разряде десятков двузначным числом. Ноль впереди не обозначает десятки, а запись 07 читается как 7 и обычно записывается одной цифрой. Проверьте, нужна ли первая цифра для значения числа: если её можно убрать без изменения значения, число не двузначное.

Ошибка: при сравнении начинать с цифр единиц. Единицы могут отвлечь внимание, хотя сначала нужно узнать, сколько десятков в каждом числе. Сравните левые цифры; только если они равны, переходите к правым, как при сравнении 67 и 64.

Связь с другими темами

Для работы с двузначными числами нужно уметь считать предметы по одному и объединять их в группы по десять. Так становится понятно, почему количество десятков и оставшихся единиц описывает число. Тема опирается на знание цифр и записи натуральных чисел: значение цифры зависит от её места. Разрядный состав пригодится при сложении и вычитании столбиком, сравнении чисел и изучении многозначных чисел, где появляются новые разряды.

Что запомнить

• Двузначные числа — это числа от 10 до 99.
• Первая цифра двузначного числа показывает количество десятков.
• Вторая цифра показывает количество единиц.
• Например, 53 = 50 + 3.
• В двузначной записи цифра десятков не может быть нулём.
• При сравнении двузначных чисел сначала сравнивают десятки.