15. Минута

Определения и обозначения

Градус — единица измерения величины угла. Для точных измерений одного градуса бывает недостаточно, поэтому его делят на более мелкие части. Такое деление позволяет записать угол точнее, не меняя саму единицу измерения.

Угловая минута — одна шестидесятая часть градуса, её обозначают одним штрихом: 1′. Значит, в одном градусе помещаются 60 угловых минут. Минута нужна, когда угол меньше градуса или когда требуется точнее указать его величину.

Угловая секунда — одна шестидесятая часть угловой минуты; для неё используют два штриха: 1″. Следовательно, 1′ = 60″. Секунда позволяет выразить ещё более мелкие части угла, чем минута.

Градусная мера угла — числовое значение величины угла, записанное в градусах, минутах и секундах. Например, в записи 2° 15′ 8″ каждый разряд показывает свою часть угла. Такая запись удобна, когда целых градусов недостаточно для точного измерения.

Как это устроено

Единицы меньше градуса нужны потому, что углы не всегда отличаются на целое число градусов. Если округлять такие углы до ближайшего целого градуса, часть точности теряется. Минуты и секунды позволяют указать меньшую долю угла и сравнивать величины аккуратнее.

Чтобы получить угловую минуту, один градус делят на 60 равных частей. Каждая такая часть и есть одна минута: 1° = 60′. Число 60 выбрано не случайно: при измерении углов используется шестидесятеричное деление, поэтому единицы переходят одна в другую не по десятичному правилу.

Деление продолжается последовательно: каждую угловую минуту делят ещё на 60 частей, получая угловые секунды. Поэтому 1′ = 60″, а в одном градусе 60 · 60 = 3600″. Штрихи помогают не перепутать разряды: один относится к минутам, два — к секундам. Это именно угловые единицы, даже если их названия совпадают с единицами времени.

При переводе составной меры в меньшие единицы сначала переводят каждый старший разряд. Например, градусы умножают на 60, чтобы получить минуты, а уже имеющиеся минуты прибавляют; чтобы получить секунды, минуты тоже умножают на 60. Для обратного перевода число секунд делят на 60: частное показывает целые минуты, а остаток — секунды. Так сохраняется одна и та же величина угла, меняется только способ её записи.

При сложении и вычитании удобно расположить градусы, минуты и секунды по разрядам и считать отдельно. Если секунд при вычитании не хватает, из одной минуты занимают 60 секунд; если не хватает минут — из одного градуса занимают 60 минут. При сложении, напротив, каждые 60 секунд заменяют одной минутой, а каждые 60 минут — одним градусом. Такой переход нужен, чтобы запись результата оставалась правильной и в каждом разряде было меньше 60 единиц.

Единицы измерения углов

Чтобы перейти к более мелкой единице, умножайте на 60: из градусов получаются минуты, из минут — секунды. Для обратного перехода делите на 60, а остаток, если он есть, записывайте в меньших единицах. Перед вычислением проверьте обозначения: штрихи показывают, к какому разряду относится число.

Разбор задач

Выразите 3° в угловых минутах.

Нужно выразить градусы в более мелкой единице. Поскольку 1° = 60′, каждый градус содержит 60 минут. Значит, число градусов следует умножить на 60.

1. Запишем соотношение: 1° = 60′.
2. Умножим количество градусов на 60: 3 · 60′ = 180′.
3. Проверим направление перевода: в минутах число должно увеличиться, потому что минута меньше градуса.

Ответ: 3° = 180′.

Переведите 2° 15′ в угловые минуты.

В записи уже есть минуты, поэтому переводить нужно только градусы. После этого прибавим 15′, которые указаны в условии. Так все части угла окажутся выражены в одной единице.

1. Заменим градусы минутами: 2° = 2 · 60′ = 120′.
2. Прибавим имеющиеся 15′: 120′ + 15′ = 135′.
3. Убедимся, что в ответе указаны только минуты и ни один разряд не пропущен.

Ответ: 2° 15′ = 135′.

Вычислите 4° 12′ 35″ − 2° 48′ 50″.

Вычитаем секунды, минуты и градусы по отдельности. В разряде секунд 35″ меньше, чем 50″, поэтому нужно занять 1′ и заменить её на 60″. После этого минут тоже не хватит, значит, займём ещё 1° как 60′.

1. Занимаем одну минуту: 12′ превращаются в 11′, а 35″ — в 95″. Вычитаем секунды: 95″ − 50″ = 45″.
2. В минутах теперь 11′, а вычесть нужно 48′. Занимаем один градус: 4° превращаются в 3°, а 11′ — в 71′.
3. Вычитаем минуты: 71′ − 48′ = 23′. Вычитаем градусы: 3° − 2° = 1°.

Ответ: 1° 23′ 45″.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что в градусе 100 минут, перенося на углы привычную десятичную систему. Но здесь действует деление на 60: 1° = 60′. Проверить себя можно, вспомнив, что 60′ должны составлять ровно один градус.

Угловую минуту иногда принимают за минуту времени из-за совпадения названий. Это разные величины: одна измеряет угол, другая — длительность. Проверяйте контекст и обозначение: штрих ′ указывает на угловую минуту.

Запись минут и секунд без штрихов или с перепутанными штрихами делает меру неоднозначной. Один штрих означает минуты, два — секунды. Перед ответом сверьте каждый знак с разрядом, который вы записываете.

При переводе составной меры можно забыть прибавить уже указанные минуты или секунды. Другая ошибка — занимать при вычитании не 60, а 10 единиц. Запишите разряды отдельно и проверьте переходы по равенствам 1° = 60′ и 1′ = 60″.

Связь с другими темами

Для работы с минутами сначала нужно знать, что такое угол, градус и как измеряют величину угла. Деление на 60 связано с шестидесятеричной системой счисления и помогает выполнять переводы и вычисления с угловыми величинами. Градусы, минуты и секунды используют для точных измерений углов. Они также встречаются в задачах о географических координатах, где важно точно указывать положение точки.

Что запомнить

• Угловую минуту обозначают одним штрихом: ′.
• Угловую секунду обозначают двумя штрихами: ″.
• 1° = 60′.
• 1′ = 60″.
• Угловые минуты и секунды не являются единицами времени.
• При сложении и вычитании угловых мер переход между разрядами выполняют по основанию 60.