2. Сложение и вычитание в пределах 20

Определения и обозначения

Десяток — это десять единиц. Например, число 14 можно представить как 10 и ещё 4 единицы. Такое представление помогает видеть, сколько в числе десятков и сколько единиц, и выбирать удобный способ счёта.

Слагаемые — числа, которые складывают, а результат сложения называется суммой. В записи 6 + 9 = 15 числа 6 и 9 — слагаемые, а 15 — сумма. Это название помогает отличать числа, которые участвуют в действии, от его результата.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; вычитаемое — число, которое вычитают; результат называется разностью. Например, в записи 17 − 5 = 12 число 17 — уменьшаемое, 5 — вычитаемое, а 12 — разность. Эти названия помогают понять роль каждого числа в вычитании.

Сложение с переходом через десяток — сложение, при котором единицы в сумме образуют новый десяток. Например, при сложении 8 и 7 сначала к 8 добавляют 2, чтобы получить 10. Затем прибавляют оставшиеся единицы, поэтому считать можно по частям.

Как это устроено

Числа от 11 до 19 удобно представлять как 10 и несколько единиц, потому что десяток служит опорой для вычислений. Например, в числе 16 есть 10 и ещё 6, поэтому к нему можно прибавлять или от него вычитать, учитывая обе части. Такое разложение показывает состав числа, а не меняет его значение. Благодаря этому можно выбирать действия с небольшими числами и не пересчитывать всё с начала.

При сложении с переходом через десяток сначала дополняют первое слагаемое до 10, а затем прибавляют оставшуюся часть второго. Так делают потому, что переход от единиц к следующему десятку становится простым и заметным. Например, в 8 + 5 число 5 раскладывают на 2 и 3: сначала 8 + 2 = 10, затем 10 + 3 = 13. Части второго слагаемого вместе по-прежнему дают 5.

Можно раскладывать одно из слагаемых на десяток и единицы, чтобы вычислить отдельно десятки и оставшиеся единицы. Например, в выражении 12 + 5 число 12 представляют как 10 + 2. Тогда к 2 прибавляют 5 и получают 7, а вместе с десятком это даёт 17. При таком способе важно не потерять ни одной части и помнить, что 10 + 2 — это прежнее число 12.

При вычитании с переходом через десяток вычитаемое разбивают на части. Сначала вычитают столько единиц, чтобы уменьшить число до 10, а затем вычитают остаток. Например, в 14 − 6 сначала вычитают 4 и получают 10, после этого вычитают оставшиеся 2 и получают 8. Такой порядок удобен, потому что переход через десяток не приходится выполнять за один непрозрачный шаг.

Результат можно проверить обратным действием, потому что сложение и вычитание связаны друг с другом. Если сложить два числа, а затем вычесть одно слагаемое, должно остаться другое слагаемое. Если из уменьшаемого вычли число, то прибавление этого числа к разности должно вернуть уменьшаемое. Проверка помогает обнаружить ошибку даже тогда, когда сам ход вычисления казался правильным.

Способы сложения и вычитания в пределах 20

Сравнивай выражение с таблицей и выбирай способ, который подходит к числам: например, нужен ли переход через десяток. После вычисления проверь, что разложенные части в сумме дают исходное число. Если результат вызывает сомнение, используй обратное действие.

Разбор задач

Вычисли 12 + 5 и объясни ход рассуждения. Здесь удобно представить первое слагаемое как десяток и единицы, поскольку прибавляемое число небольшое и переход через десяток не требуется. Так видно, что десяток остаётся на месте, а единицы можно сложить отдельно. После этого соберём полученное число и проверим, что его состав соответствует вычислению.

1. Разложим число 12: 12 = 10 + 2.
2. Прибавим 5 к двум единицам: 2 + 5 = 7.
3. Соединим 7 единиц с десятком: 10 + 7 = 17.
4. Проверим вычитанием: 17 − 5 = 12.

Ответ: 17. Проверка возвращает исходное первое слагаемое, значит вычисление согласуется с обратным действием. Разложение помогло считать только единицы, не забывая о десятке.

Вычисли 8 + 7 двумя способами. При первом способе удобно сначала дополнить 8 до 10: для этого из 7 нужно выделить 2, а оставшаяся часть равна 5. При втором способе разложим второе слагаемое на десяток и единицы и прибавим части по очереди. Оба рассуждения должны привести к одному ответу, потому что число 7 в каждом случае сохраняет своё значение.

1. Первый способ: 7 = 2 + 5, поэтому 8 + 7 = 8 + 2 + 5.
2. Вычислим по порядку: 8 + 2 = 10, затем 10 + 5 = 15.
3. Второй способ: 7 = 5 + 2, поэтому 8 + 7 = 8 + 5 + 2 = 13 + 2 = 15.
4. Сравним результаты: оба способа дают 15.

Ответ: 15. В первом способе десяток появляется сразу, во втором сначала складываются другие части. Если при разложении получилось то же число 7, оба способа сохраняют значение исходного выражения.

В коробке было 16 карандашей. Сначала взяли 8, потом ещё 3. Нужно найти, сколько карандашей осталось после обоих действий. Удобно сначала объединить количество взятых карандашей, а затем вычесть его из первоначального количества. При вычитании можно пройти через 10 частями и в конце проверить результат сложением.

1. Найдём, сколько карандашей взяли всего: 8 + 3 = 11.
2. Вычтем 11 из 16; разложим 11 на 6 и 5, потому что после вычитания 6 получим 10: 16 − 6 = 10.
3. Вычтем оставшиеся 5: 10 − 5 = 5.
4. Проверим обратным действием: 5 + 11 = 16.

Ответ: в коробке осталось 5 карандашей. Проверка показывает, что оставшиеся карандаши и взятые вместе составляют первоначальные 16. Здесь важно учитывать оба раза, когда карандаши брали из коробки.

Типичные ошибки

При дополнении до 10 иногда неправильно раскладывают слагаемое и теряют часть числа. Например, в 8 + 7 нужно выделить 2, а остаток равен 5; если ошибочно взять 3, части уже не составят 7. Такое случается, когда считают только первый шаг и не проверяют остаток. Сложи найденные части: их сумма должна совпасть с исходным слагаемым.

При вычитании можно разбить вычитаемое на части, сумма которых не равна исходному числу. Тогда фактически будет вычтено другое число, даже если каждый отдельный шаг выполнен верно. Ошибку допускают, когда не записывают разложение и полагаются только на память. Перед вычислением проверь, что части вместе дают всё вычитаемое, а после — выполни проверку сложением.

Иногда десяток и единицы считают как отдельные числа и забывают, что вместе они составляют исходное число. Например, разложение 13 = 10 + 3 не означает, что число 13 заменилось двумя несвязанными числами. Такая ошибка возникает, когда части записывают, но не собирают обратно. Проверяй смысл записи: сумма десятка и единиц должна равняться исходному числу.

При вычитании ответ иногда получается больше уменьшаемого, хотя это невозможно: если что-то убрать, количество не увеличится. Так бывает из-за ошибки в знаке действия или неверного перехода через десяток. Сначала оцени результат по смыслу задачи: он должен быть не больше начального количества. Затем проверь вычисление сложением разности и вычитаемого.

Связь с другими темами

Для вычислений в пределах 20 нужно уверенно считать в пределах 10 и знать состав чисел первого десятка. Например, чтобы дополнить 8 до 10, надо помнить, что не хватает 2. Эти знания помогают раскладывать числа без долгого пересчёта и выбирать подходящую часть для вычисления.

Представление числа как десятка и единиц связано с разрядным составом чисел. Оно пригодится дальше, когда нужно будет выполнять письменные вычисления и следить за единицами и десятками в записи. Понимание состава числа помогает объяснить, почему разложение не меняет его значение.

Связь сложения и вычитания позволяет проверять вычисления и решать текстовые задачи. Если известно, сколько было и сколько взяли, вычитание помогает найти остаток; сложение проверяет, верно ли он найден. В задачах с несколькими действиями полезно сначала определить, что происходит с количеством.

Что запомнить

• Десяток — это 10 единиц.
• Число от 11 до 19 состоит из одного десятка и единиц.
• При сложении можно сначала дополнить слагаемое до 10.
• При вычитании с переходом через десяток вычитаемое удобно разбивать на части.
• Сумму проверяют вычитанием.
• Разность проверяют сложением.