21. Дополнение двузначных чисел до круглых

Определения и обозначения

Круглое число — число, которое оканчивается нулём. В этой теме речь идёт о круглых десятках, например 40 или 70, и о круглой сотне — 100. Такие числа удобно использовать как промежуточные цели при счёте.

Дополнение числа до круглого — число, которое нужно прибавить к исходному, чтобы получить заданное круглое число. Например, дополнение 67 до 70 равно 3. По смыслу дополнение является недостающим слагаемым.

Разряд единиц — позиция последней цифры двузначного числа. Например, в числе 34 цифра 4 стоит в разряде единиц. Она показывает, сколько единиц нужно дополнить до 10, чтобы при прибавлении перейти к следующему круглому десятку.

Разряд десятков — позиция первой цифры двузначного числа. В числе 34 цифра 3 означает три десятка. Зная число десятков, можно определить, сколько десятков останется добавить после перехода к следующему десятку, если нужно дойти до 100.

Как это устроено

При прибавлении до следующего круглого десятка цифра десятков сохраняется, а единицы превращаются в ноль. Поэтому решающей становится последняя цифра: нужно выяснить, сколько ей не хватает до 10. Если у числа 67 семь единиц, то до десяти не хватает трёх, и 67 + 3 = 70. Круглый десяток получается потому, что после этого шага в разряде единиц стоит 0.

Удобно представить число как сумму десятков и единиц. Например, 68 = 60 + 8, а следующий круглый десяток — это 60 + 10, то есть 70. До него не хватает 10 − 8 = 2; значит, 68 + 2 = 70. Такое разложение помогает увидеть, что при переходе через десяток не нужно заново складывать всё число: достаточно дополнить его единицы до 10.

Чтобы найти дополнение до 100, путь можно разделить на два шага. Сначала дополни единицы до 10 и перейди к следующему круглому десятку, затем прибавь оставшиеся десятки до 100. Например, от 68 до 70 нужно 2, а от 70 до 100 — ещё 30. Складываем части: 2 + 30 = 32, поэтому 68 + 32 = 100.

Дополнение связано с вычитанием, потому что сумма известна, а одно слагаемое неизвестно. Если число 68 вместе с дополнением даёт 100, то неизвестную часть можно найти разностью: 100 − 68 = 32. Вычитание сразу показывает, сколько нужно прибавить, и даёт результат тем же способом. При счёте в уме путь по частям может быть нагляднее, а вычитание удобно для проверки или быстрой записи.

Проверка основана на смысле дополнения: найденное число должно вернуть нас к выбранной круглой величине. Прибавь его к исходному числу и посмотри, оканчивается ли результат нулём и совпадает ли он с целью. Например, после вычисления 100 − 68 = 32 проверяем: 68 + 32 = 100. Если получилось другое число, значит, в дополнении или сложении допущена ошибка.

Дополнение двузначных чисел до круглых чисел

В таблице показано, что искать дополнение можно до разных круглых чисел, а проверка всегда выполняется сложением. В строке про ближайший десяток цель зависит от исходного числа: например, для 37 ближайший десяток — 40. В последней строке дополнение записано как разность круглого числа и исходного.

Разбор задач

Сколько нужно прибавить к 34, чтобы получить 40?

Нужно найти число, которое превратит 34 в круглый десяток 40. Посмотрим на единицы: в числе 34 их 4, а до 10 единиц не хватает 6. Проверка сложением покажет, действительно ли получена цель.

1. Записываем число по разрядам: 34 = 30 + 4.
2. Дополняем единицы до 10: 10 − 4 = 6.
3. Проверяем: 34 + 6 = 40.

Ответ: нужно прибавить 6. Здесь мы не вычитаем цифру 4 из круглого десятка как отдельную задачу, а находим, сколько единиц ей не хватает до 10. Поэтому десяток становится полным.

Сколько нужно прибавить к 67, чтобы получить 70?

Цель — следующий круглый десяток, 70. Число 67 состоит из 60 и 7, поэтому сохраняем 60 и ищем добавку к семи единицам. После перехода через десяток единиц станет десять, то есть появится ещё один десяток.

1. Находим, сколько не хватает единиц до 10: 10 − 7 = 3.
2. Прибавляем эту добавку к исходному числу: 67 + 3 = 70.
3. Проверяем результат: 70 оканчивается нулём и совпадает с заданной целью.

Ответ: нужно прибавить 3. Это тот же приём, что и в предыдущей задаче: до следующего десятка единицы дополняются до 10. Меняется только исходная цифра единиц.

Сколько нужно прибавить к 68, чтобы получить 100?

До 100 удобнее идти не одним большим шагом, а сначала попасть на ближайший следующий десяток. От 68 до 70 не хватает всего двух единиц, а затем остаётся пройти от 70 до 100. Два найденных отрезка складываем и проверяем общим сложением.

1. Дополняем 68 до 70: 10 − 8 = 2.
2. Считаем, сколько десятков от 70 до 100: 100 − 70 = 30.
3. Складываем части пути: 2 + 30 = 32.
4. Проверяем: 68 + 32 = 100.

Ответ: нужно прибавить 32. Разбиение на части помогает не потерять один десяток при переходе от единиц к десяткам. Тот же ответ можно получить вычитанием: 100 − 68 = 32.

Типичные ошибки

Иногда из цифры единиц вычитают её из круглого числа, например считают 10 − 4 неправильно или пытаются вычитать 4 из 40, забывая о разрядах. Так происходит, когда цифру воспринимают отдельно от её места в числе. Чтобы проверить себя, представь число как десятки и единицы: 34 = 30 + 4, а дополнение до 40 должно дать ещё 10 единиц.

Другая ошибка — путать дополнение до ближайшего десятка с дополнением до 100. В первом случае цель — один из соседних круглых десятков, во втором — сотня; поэтому искомые числа могут сильно различаться. Перед вычислением запиши цель, а после сложения проверь, что результат равен именно ей.

При поиске дополнения до 100 можно неверно сосчитать десятки после перехода через следующий десяток. Например, после 70 до 100 остаётся 30, а не 20: считать нужно от круглого десятка до сотни. Раздели путь на два отрезка и проверь каждый отдельно, затем сложи полученные дополнения.

Если не проверить ответ сложением, легко не заметить, что получилось не круглое число или достигнута не та цель. Например, найденное для 68 дополнение нужно прибавить именно к 68, а не только сравнить с 100. Запиши проверку полностью: 68 + 32 = 100; если равенство неверно, пересчитай шаги.

Связь с другими темами

Для этого приёма нужно уметь раскладывать двузначное число на десятки и единицы, знать состав числа 10 и складывать с переходом через десяток. Эти знания объясняют, почему цифру единиц дополняют до 10, а не просто прибавляют произвольное число.

Дополнение помогает быстрее считать устно, складывать и вычитать с круглыми числами, а также проверять вычисления. Например, при сложении можно сначала дополнить слагаемое до круглого десятка, а затем учесть оставшуюся часть. Вычитание позволяет найти недостающее слагаемое, если известны исходное и круглое числа.

Что запомнить

• Круглое число оканчивается нулём.
• Дополнение — это недостающее слагаемое.
• До следующего круглого десятка единицы нужно дополнить до 10.
• Дополнение до 100 удобно находить по частям.
• Недостающее слагаемое можно найти вычитанием.
• Результат полезно проверить сложением.