22. Вычитание из круглых чисел

Определения и обозначения

Круглое число — число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями, например 60, 800 или 5000. Нули показывают, что в числе нет единиц некоторых разрядов, но сами разряды сохраняются: 5000 — это пять тысяч, а не пять единиц. Это понятие помогает увидеть, откуда при вычитании можно разменять более крупную единицу.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; вычитаемое — число, которое отнимают; результат называется разностью. Например, в записи 700 − 256 = 444 число 700 — уменьшаемое, 256 — вычитаемое, 444 — разность. Эти названия помогают следить за порядком действий и проверять вычисление.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение: единицы, десятки, сотни, тысячи. При вычитании числа записывают так, чтобы одноимённые разряды оказались друг под другом. Если цифры уменьшаемого в нужном разряде не хватает, единицу соседнего старшего разряда можно разменять на 10 единиц младшего.

Как это устроено

Вычитание выполняют по разрядам, потому что любое число можно представить суммой единиц, десятков, сотен и других разрядных единиц. Например, 432 = 400 + 30 + 2. Когда вычитают числа, записанные столбиком, сначала сравнивают цифры в разряде единиц, затем переходят к десяткам и дальше влево. Такое расположение сохраняет значение каждой цифры и не позволяет случайно вычесть сотни из десятков.

Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого в одном разряде, из соседнего разряда слева занимают одну единицу. Она равна 10 единицам следующего разряда: один десяток можно заменить десятью единицами, одну сотню — десятью десятками. Поэтому после размена цифра в текущем разряде увеличивается на 10, а цифра в старшем разряде уменьшается на 1. Это не меняет числа: десяток просто представлен иначе.

При вычитании из круглого числа размен иногда проходит через несколько нулей. Например, чтобы вычесть единицы из 5000, нельзя занять из разряда десятков: там стоит ноль, как и в разряде сотен. Занимаем одну тысячу и последовательно размениваем её: 1 тысяча становится 10 сотнями, одна сотня — 10 десятками, один десяток — 10 единицами. В записи получается 4 тысячи, 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц.

Есть и короткий способ для чисел 10, 100, 1000 и подобных: найти, сколько не хватает вычитаемому до уменьшаемого. Например, 1000 − 368 можно посчитать как дополнение 368 до 1000. Сначала от 368 до 400 не хватает 32, а от 400 до 1000 — 600, значит, всего не хватает 632. Этот способ удобен, если дополнение считать легче, чем выполнять вычитание столбиком.

Чтобы выбрать способ, оцени, насколько просто выполнить размен или найти дополнение. При небольших числах удобно считать по разрядам, а при вычитании из 100, 1000 или 10 000 часто быстро находится дополнение. В любом случае полезно сначала записать действие аккуратно, а потом проверить результат сложением. Если разность и вычитаемое дают исходное круглое число, вычисление согласуется с правилом вычитания.

Приёмы вычитания из круглых чисел

Сначала посмотри на числа и реши, какой приём проще: дополнение до круглого числа или вычитание по разрядам. Если в уменьшаемом встречаются нули, заранее проверь, из какого разряда можно занять. После вычисления сложи разность с вычитаемым: сумма должна совпасть с уменьшаемым.

Разбор задач

Задача. Вычисли 5000 − 1847. В уменьшаемом есть нули, поэтому вычитать единицы и десятки сразу нельзя: в этих разрядах пока нет подходящих цифр. Разменяем одну тысячу через сотни и десятки, а затем выполним вычитание по разрядам. Такой ход сохраняет значение числа 5000 и делает каждый шаг понятным.

1. Запишем число 5000 по разрядам: 5 тысяч, 0 сотен, 0 десятков и 0 единиц. Сравним разряды справа налево: из нуля единиц нельзя вычесть 7 единиц. Значит, нужно получить единицы разменом из старшего ненулевого разряда.
2. Занимаем одну тысячу: остаётся 4 тысячи, а вместо неё получаем 10 сотен. Одну сотню размениваем на 10 десятков, поэтому остаётся 9 сотен. Затем один десяток размениваем на 10 единиц: остаётся 9 десятков и 10 единиц.
3. Теперь вычитаем единицы: 10 − 7 = 3. В разряде десятков вычитаем 4 из 9 и получаем 5. В разряде сотен вычитаем 8 из 9 и получаем 1; в разряде тысяч вычитаем 1 из 4 и получаем 3.
4. Записываем цифры результата по разрядам: 3153. Проверим сложением: 3153 + 1847 = 5000. Значит, размен выполнен верно, а ответ согласуется с обратным действием.

Ответ: 3153.

Типичные ошибки

• Вычитают цифры, не занимая разряд. Например, пытаются из нуля единиц вычесть 7 и записывают неверную цифру. Так происходит, если забыть, что каждый разряд имеет своё значение. Проверь: когда цифры уменьшаемого не хватает, сначала выполни размен из старшего разряда.

• Разменивают единицу, но не уменьшают старший разряд. Тогда в записи число становится больше исходного. Эту ошибку допускают, когда считают размен только как прибавление 10 к младшему разряду. Проверь, что в том разряде, откуда заняли, стало на единицу меньше.

• Неверно проходят через нули. Можно забыть, что промежуточные нули при размене превращаются в 9, а не остаются нулями. Такое случается, когда размен записывают не по шагам. Проверь получившееся разложение сложением: оно должно снова давать исходное круглое число.

• Сдвигают разряды или пропускают ноль. Тогда единицы вычитаемого попадают не к своим единицам, десяткам или сотням. Причина обычно в неаккуратной записи столбиком. Проверь, что числа выровнены по правому краю и одноимённые разряды стоят друг под другом.

Связь с другими темами

Вычитание из круглых чисел опирается на знание разрядного состава числа: например, 1000 можно разменять на 10 сотен, а сотню — на 10 десятков. Поэтому полезно уверенно читать многозначные числа и представлять их в виде суммы разрядных слагаемых. Этот приём является частью письменного вычитания столбиком, где размен используют и тогда, когда уменьшаемое не круглое.

Вычитание связано и со сложением: сложение служит проверкой разности. Если из уменьшаемого вычли число, то прибавление этого числа к результату должно вернуть уменьшаемое. Умение находить дополнение до 10, 100 или 1000 также помогает считать устно и решать задачи на изменение количества.

Что запомнить

• Круглое число оканчивается одним или несколькими нулями.
• Вычитай по разрядам, располагая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее.
• Если в разряде не хватает цифры, займи единицу старшего разряда и размени её на 10 единиц младшего.
• При размене через нули уменьши старший разряд; промежуточные разряды становятся равны 9.
• Проверяй вычитание сложением: разность плюс вычитаемое равны уменьшаемому.