23. Прямые, острые и тупые углы

Определения и обозначения

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90°. Его узнают по совпадению со специальным углом угольника: стороны прямого угла угольника должны лечь вдоль сторон проверяемого угла. Такое определение нужно, чтобы иметь точную опору для сравнения других углов. На чертеже прямой угол иногда отмечают маленьким квадратиком у вершины.

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше 0° и меньше 90°. Его стороны раскрыты слабее, чем стороны прямого угла, поэтому он меньше угла угольника. Это определение помогает отличать острые углы от прямых и тупых не только на глаз, но и по измерению. Например, угол в 35° — острый.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше 90° и меньше 180°. Он раскрыт шире прямого, но не образует развёрнутую линию, соответствующую 180°. Такое определение нужно, чтобы не путать тупой угол с прямым или развёрнутым. Например, угол в 125° является тупым.

Как это устроено

Углы разделяют на острые, прямые и тупые, сравнивая их с прямым углом. Это сравнение удобно, потому что прямой угол имеет постоянную меру — 90° — и его можно проверить угольником. Если раскрытие меньше этого образца, угол острый; если больше, угол может быть тупым. Чтобы убедиться, что он именно тупой, а не развёрнутый, учитывают границу 180°.

Градусная мера показывает, насколько раскрыты стороны угла: чем больше градусов, тем шире раскрытие. Длина лучей этого не меняет, ведь при их удлинении направление сторон остаётся прежним. Представьте, что стороны угла — створки двери: расстояние до края створок может измениться, но угол определяется тем, насколько створки разошлись. Поэтому сравнивают направления сторон, а не их длину.

Если градусная мера уже известна, вид угла находят сравнением с 90° и 180°. Мера меньше 90° означает острый угол, равная 90° — прямой, а находящаяся между 90° и 180° — тупой. Границы проверяют отдельно: угол ровно в 90° не попадает ни в одну из двух соседних групп. Такой способ надёжен, потому что опирается на точные числа, а не на впечатление от чертежа.

Когда измерить угол нечем, его можно оценить, сопоставив с прямым углом. Например, угол угольника служит образцом в 90°: если раскрытие меньше, угол острый, если больше — вероятно, тупой. Угол клетки тоже подходит, если её соседние стороны перпендикулярны. Такая оценка помогает быстро назвать вид угла, но при неточном рисунке лучше проверить его измерением.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала находят его вершину и одну из сторон. Центр транспортира помещают на вершину, а нулевую отметку совмещают с выбранной стороной, чтобы шкала отсчитывала от 0°. Затем смотрят, через какую отметку проходит вторая сторона, и записывают градусную меру. Сравнив её с 90° и 180°, называют вид угла; если сторона не проходит точно через деление, результат оценивают по ближайшим отметкам.

Виды углов по градусной мере

Сначала найдите градусную меру угла или оцените его раскрытие относительно прямого. Затем выберите строку, в диапазон которой попадает мера: границы 90° и 180° учитываются строго. Если значение равно 90°, выбирайте прямой угол, а не острый или тупой.

Разбор задач

Задача 1. Угол равен 42°. Определите его вид. Чтобы не полагаться на то, как угол выглядит на чертеже, достаточно сравнить данное число с мерой прямого угла. Затем используем определение острого угла.

1. Прямой угол равен 90°.
2. Сравниваем: 42° меньше 90° и больше 0°.
3. Значит, мера угла попадает в промежуток от 0° до 90°, который соответствует острому углу.

Ответ: угол острый. Здесь важно сравнить именно градусные меры: по условию она уже дана, поэтому транспортир не требуется. Если бы число было больше 90°, потребовалось бы также проверить, что оно меньше 180°.

Задача 2. Угол равен 90°. Как он называется и как его проверить угольником? Сначала определим его вид по числу градусов, а затем опишем практическую проверку. При проверке вершина и обе стороны угла должны совпасть с соответствующими частями угольника.

1. Угол с градусной мерой 90° по определению называется прямым.
2. Найдите на угольнике угол, отмеченный как прямой, и приложите его вершину к вершине проверяемого угла.
3. Совместите одну сторону угольника с одной стороной проверяемого угла. Если другая сторона также совпала, угол прямой.

Ответ: это прямой угол; совпадение сторон при проверке угольником подтверждает результат. Если стороны не совпадают, нельзя насильно поворачивать угольник так, чтобы совпала только одна линия: нужно проверить, правильно ли совмещена вершина. Угольник позволяет распознать прямой угол без считывания градусов.

Задача 3. Измерьте транспортиром угол на чертеже и определите, острый он, прямой или тупой. Так как конкретного числового значения в условии нет, сначала выполняют измерение, а потом применяют правило сравнения. Аккуратное расположение инструмента важно: иначе можно получить неверное число.

1. Поставьте центр транспортира точно на вершину угла.
2. Совместите нулевую отметку шкалы с одной стороной угла, не меняя положения центра.
3. Найдите отметку, на которой вторая сторона пересекает шкалу, и считайте значение от нуля.
4. Сравните результат с 90°: меньше 90° — угол острый, ровно 90° — прямой, больше 90° и меньше 180° — тупой.

Ответ: вид угла определяется по полученной мере по указанному правилу. Например, результат 75° означает острый угол, 90° — прямой, а 130° — тупой. Если показания кажутся неожиданными, проверьте центр и нулевую отметку, а затем повторите измерение.

Типичные ошибки

Ошибка — называть угол тупым только потому, что на рисунке он выглядит большим. Чертёж может быть выполнен неточно, а наклон страницы или неудачный масштаб мешают оценке на глаз. Проверьте угол угольником или транспортиром и сравните результат с 90° и 180°.

Ошибка — считать, что длинные стороны образуют больший угол, чем короткие. Так думают, потому что сравнивают расстояние между концами лучей, хотя градусная мера зависит от их направления и раскрытия. Для проверки представьте, что стороны продлили или укоротили: если направления остались прежними, величина угла не изменилась.

Ошибка — относить угол в 90° к острым или тупым. Это происходит, если ученик запоминает только «меньше» и «больше», но забывает отдельное равенство. Проверьте значение отдельно: при 90° угол прямой, при меньшем значении он острый, а при большем и меньшем 180° — тупой.

Ошибка при измерении транспортиром — поместить центр не на вершину или считать деления не от нуля. Из-за этого шкала показывает число, не соответствующее углу, и его вид называют неверно. Перед считыванием проверьте совпадение центра и нулевой отметки со сторонами, а затем проследите, от какой части шкалы ведётся отсчёт.

Связь с другими темами

Для работы с видами углов нужно знать, что угол образован двумя лучами с общим началом, и понимать смысл его градусной меры. Эти сведения позволяют сравнивать углы и измерять их. Различение острых, прямых и тупых углов понадобится при изучении треугольников и многоугольников: так описывают их углы и свойства. Оно также помогает выполнять геометрические построения и проверять, правильно ли расположены линии.

Что запомнить

• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол больше 0° и меньше 90°.
• Тупой угол больше 90° и меньше 180°.
• Угол в 90° не относится ни к острым, ни к тупым.
• Вид угла определяется его градусной мерой, а не длиной сторон.
• Угольник помогает распознать прямой угол, транспортир — измерить угол.