"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Вычитание с переходом через разряд нужно, когда в уменьшаемом единиц меньше, чем в вычитаемом. Тогда один десяток заменяют десятью единицами: число не меняется, но вычисления становятся возможными. Сначала вычитают единицы, затем десятки, не забывая уменьшить число десятков после займа. Этот приём помогает считать столбиком и устно, а проверка сложением позволяет убедиться, что ответ верен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вычитание двузначных чисел с переходом через разряд — это вычитание, при котором единиц уменьшаемого не хватает для вычитания единиц вычитаемого. Тогда состав уменьшаемого меняют: один десяток заменяют десятью единицами. Это нужно, чтобы выполнить действие по разрядам, сохранив значение числа.
Разрядные единицы — это единицы счёта, связанные с местом цифры в записи числа. Десяток состоит из 10 единиц, а одна сотня — из 10 десятков. Эти равенства позволяют заменять крупные разрядные единицы меньшими, когда этого требует вычисление.
Разложение числа на разрядные слагаемые — запись числа как суммы десятков и единиц. Например, 46 = 40 + 6, то есть 4 десятка и 6 единиц. Такая запись помогает увидеть состав числа и выбрать удобный способ вычитания.
Заём одного десятка — замена одного десятка уменьшаемого десятью единицами. Например, 52 можно представить как 4 десятка и 12 единиц вместо 5 десятков и 2 единиц. Заём нужен, чтобы вычесть единицы, которых изначально было недостаточно, и не изменить исходное число.
Если в каждом разряде уменьшаемого цифра не меньше соответствующей цифры вычитаемого, числа можно вычитать по разрядам без перехода. Например, в 46 − 23 сначала вычитают единицы: 6 − 3 = 3, затем десятки: 4 − 2 = 2. Получается 23. Такой способ работает, потому что каждый разряд содержит достаточно единиц своего вида.
Если единиц уменьшаемого меньше, обычное вычитание в этом разряде не получится. Например, из 2 единиц нельзя вычесть 8 единиц, не переходя к десяткам: попытка вычесть меньшую цифру из большей изменила бы порядок действия. Поэтому один десяток заменяют десятью единицами. Так сохраняется количество, но в разряде единиц появляется достаточно единиц для вычитания.
Алгоритм удобно выполнять столбиком, расположив единицы под единицами, а десятки под десятками. Сначала проверяют разряд единиц: если их не хватает, занимают один десяток, уменьшают число десятков на один и прибавляют 10 к единицам. Затем вычитают единицы, а после них — десятки. Порядок важен, потому что займ меняет состав уменьшаемого до выполнения вычитания десятков.
Тот же приём можно записать через разложение уменьшаемого на слагаемые. Например, 52 = 40 + 12, поэтому 52 − 28 = (40 + 12) − (20 + 8) = (40 − 20) + (12 − 8) = 24. Слагаемые 40 и 12 выбраны так, чтобы единицы можно было вычесть напрямую. Проверка обратным действием даёт 24 + 28 = 52.
Иногда после займа нужно внимательно выполнить и вычитание десятков. Например, в 71 − 46 после замены одного десятка остаётся 6 десятков, а не 7. Из этих 6 десятков вычитают 4 десятка. Если забыть уменьшить число десятков, результат будет завышен на 10. Поэтому после займа нужно проверять обе части записи уменьшаемого.
| Способ | Что делают | На что обратить внимание | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Вычитание столбиком | Записывают числа по разрядам и вычитают сначала единицы, потом десятки. | Единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками. | 52 − 28: записать числа столбиком. |
| Замена десятка десятью единицами | Уменьшают число десятков на 1, а к единицам прибавляют 10. | Заём меняет состав числа, но не его значение. | 52 = 4 десятка и 12 единиц. |
| Разложение уменьшаемого на разрядные слагаемые | Представляют уменьшаемое суммой удобного числа десятков и единиц. | Слагаемые должны в сумме давать исходное уменьшаемое. | 52 − 28 = (40 + 12) − (20 + 8). |
| Проверка сложением | Прибавляют вычитаемое к полученной разности. | В результате должно получиться уменьшаемое. | 24 + 28 = 52. |
Выбирай способ, который помогает видеть разряды и не терять заём. Для письменного вычисления удобно вычитание столбиком, а разложение на слагаемые показывает, почему приём работает. Проверкой сложением можно подтвердить ответ при любом способе.
Задача: вычислите 46 − 23. Здесь переход через разряд не нужен: 6 единиц достаточно, чтобы вычесть 3, а 4 десятков — чтобы вычесть 2 десятка. Поэтому можно действовать отдельно в каждом разряде.
Ответ: 23. Проверка помогает убедиться, что вычитание верно: 23 + 23 = 46. В этой задаче разряды не меняли состав, поэтому вычисление получилось простым.
Задача: вычислите 52 − 28. В разряде единиц нужно вычесть 8 из 2, а единиц не хватает. Заменим один десяток десятью единицами: 52 — это 4 десятка и 12 единиц.
Ответ: 24. Прикидка тоже помогает: 52 − 28 должно быть немного больше, чем 52 − 30 = 22. Ответ 24 этому соответствует.
Задача: вычислите 71 − 46 и проверьте результат сложением. Единиц не хватает, поэтому занимаем один десяток. После займа уменьшаемое становится равным 6 десяткам и 11 единицам, а число десятков обязательно уменьшается.
Ответ: 25. Проверка возвращает исходное уменьшаемое, значит вычисление согласуется с обратным действием. Если бы после займа оставили 7 десятков, получилось бы неверное число.
Ошибка: вычесть меньшую цифру из большей, не учитывая порядок чисел, например выполнить 8 − 2 вместо 2 − 8. Так делают, потому что сравнивают цифры, а не выполняют заданное вычитание. Проверь себя: если единиц не хватает, нужно занять десяток, а не менять цифры местами.
Ошибка: записать 12 единиц после займа, но оставить прежнее число десятков. Тогда общее значение уменьшаемого увеличится на 10, потому что к единицам добавили десять, но десяток не убрали. Проверь состав числа: после замены 5 десятков и 2 единиц должно быть 4 десятка и 12 единиц.
Ошибка: после займа записать 12 единиц, но забыть, что к исходным единицам нужно прибавить 10. Это происходит, если ученик запоминает только действие с десятками. Проверь равенство: 2 единицы и 1 заёмный десяток дают 12 единиц, а не 10 или 2.
Ошибка: смешать цифры разных разрядов или начать вычисление с десятков при записи столбиком. Из-за этого можно вычесть десятки из единиц, хотя их значения различаются в 10 раз. Проверь расположение чисел: единицы должны стоять друг под другом, десятки — друг под другом, а вычитание начинают с единиц.
Чтобы уверенно выполнять вычитание с переходом, нужно знать разрядный состав двузначных чисел и помнить, что в десятке 10 единиц. Также пригодятся состав числа 10 и таблица сложения и вычитания в пределах 20: именно такие вычисления встречаются после займа. Если эти действия пока трудны, полезно потренироваться на примерах с небольшими числами.
Этот навык становится основой письменного вычитания многозначных чисел: замена разрядной единицы меньшими единицами повторяется и в старших разрядах. Он также нужен при вычислениях с величинами и в текстовых задачах на разность. Во всех случаях важно следить, сколько единиц каждого разряда осталось после займа.
Почему при вычитании единиц приходится занимать десяток?
Если единиц в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, их нельзя вычесть без перехода через ноль. Один десяток можно заменить десятью единицами и прибавить их к имеющимся единицам. Значение числа при такой замене не меняется.
Почему после займа десятков становится на один меньше?
Один десяток уменьшаемого отдают разряду единиц, заменяя его десятью единицами. Поэтому десятков остаётся на один меньше, а единиц становится на десять больше. Если не изменить число десятков, получится уже другое число.
Можно ли выполнить такое вычитание без записи столбиком?
Да. Можно разложить уменьшаемое на удобные слагаемые и вычесть число по частям. Например, 52 − 28 можно представить как 52 − 20 − 8, но при вычитании 8 сначала удобно отделить 2 единицы, чтобы получить круглый десяток.
Как проверить ответ после вычитания?
К разности прибавляют вычитаемое. Если получилась исходная разность уменьшаемого, вычисление выполнено верно. Например, для 71 − 46 = 25 проверка выглядит так: 25 + 46 = 71.
Что делать, если цифра единиц уменьшаемого меньше цифры единиц вычитаемого?
Заменить один десяток уменьшаемого десятью единицами. После этого увеличить число единиц на 10, а число десятков уменьшить на 1. Затем вычесть единицы и перейти к десяткам.
25. Вычитание двузначных чисел с переходом через разряд
