"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Решение текстовой задачи — это перевод её условия на язык математики. Нужно установить, что известно, выбрать неизвестную величину, выразить связанные с ней значения и составить уравнение или другую математическую модель. Затем модель решают, проверяют найденный результат по условию и записывают ответ с правильными единицами измерения. Такой порядок помогает не угадывать действия, а объяснять каждый шаг.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью чисел, величин, выражений или уравнений. Она показывает связи, описанные словами: например, начальное количество состоит из взятого и оставшегося. Модель нужна, чтобы заменить длинное условие точной записью и выбрать правильные действия.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обозначают буквой и сразу поясняют: например, x — число взятых карандашей. Такое обозначение помогает выразить через x другие величины и не потерять смысл вычислений.
Уравнение — равенство с неизвестным, составленное по условию задачи. Например, запись 18 − x = 11 связывает начальное, взятое и оставшееся количество карандашей. Найденное значение должно сделать это равенство верным.
Проверка решения — сопоставление полученного ответа с уравнением и исходным условием. Для этого найденное число подставляют в модель и оценивают, возможно ли оно по смыслу. Проверка помогает заметить неверное действие, неподходящие единицы или ответ не на тот вопрос.
Решение начинается с внимательного чтения условия: выделите известные данные, вопрос и величины, которые в нём связаны. Одно и то же число может описывать, например, цену, расстояние или количество, поэтому нельзя сразу выбирать действие только по внешнему виду чисел. Если сначала понять смысл ситуации, математическая запись будет опираться на условие, а не на случайное угадывание.
Неизвестную обозначают буквой, потому что её значение пока не известно, но с ней можно выполнять действия. Через выбранную величину выражают остальные данные: если одна скорость на 4 км/ч больше другой, при начальной скорости x вторая равна x + 4. Так словесные отношения превращаются в выражения, с которыми можно работать.
Уравнение составляют по связи между величинами, а не по отдельным числам из текста. Левая и правая части должны описывать одну и ту же величину или один и тот же результат, полученный разными способами. Например, в задаче о движении общее расстояние равно сумме расстояний на двух участках, поэтому запись имеет вид 2x + 3(x + 4) = 58.
После составления уравнения его решают известными правилами: раскрывают скобки, переносят слагаемые, выполняют арифметические действия. Полученный корень ещё не является окончательным ответом, пока не ясно, что именно обозначает x. Если x — цена, то результат выражают в рублях, а если скорость — в километрах в час.
В конце проверяют вычисления и смысл результата. Подстановка в уравнение показывает, верна ли математическая запись, а возвращение к условию — подходит ли число для реальной ситуации и отвечает ли оно на вопрос. Отдельно проверьте единицы измерения и ограничения: количество предметов не бывает отрицательным, а время и расстояние не могут быть меньше нуля.
Таблица задаёт порядок работы, поэтому её удобно использовать как план или памятку. На каждом этапе отвечайте на контрольный вопрос и только после этого переходите дальше. Если на проверке обнаружилась ошибка, вернитесь к тому шагу, где появилась неверная связь.
| Этап | Что сделать | Контрольный вопрос |
|---|---|---|
| Разбор условия | Выделить известные данные, вопрос и связи между величинами. | Что известно и что требуется найти? |
| Выбор неизвестной | Обозначить буквой искомую или удобную связанную величину. | Что означает выбранная буква? |
| Составление математической модели | Выразить величины через неизвестную и записать их связь. | Почему эта запись следует из условия? |
| Решение уравнения | Найти значение неизвестной, сохраняя равенство. | Какое число является корнем? |
| Проверка и запись ответа | Подставить результат, оценить смысл и записать ответ. | Подходит ли число к вопросу и единицам? |
В коробке было 18 карандашей. Несколько карандашей взяли, и осталось 11. Сколько карандашей взяли? Искомое число связано с начальным и оставшимся количеством: если из 18 убрать взятые карандаши, получится 11.
Ответ: взяли 7 карандашей.
За три одинаковые тетради заплатили на 40 рублей больше, чем за одну такую тетрадь. Найдите цену тетради. Если цена одной тетради равна x, то цена трёх тетрадей равна 3x, а разность этих стоимостей составляет 40 рублей.
Ответ: цена тетради — 20 рублей.
Велосипедист ехал 2 часа с одной скоростью, затем 3 часа со скоростью на 4 км/ч больше. За всё время он проехал 58 км. Найдите скорость на первом участке. Используем формулу расстояния s = vt и складываем расстояния двух участков.
Ответ: скорость на первом участке — 9,2 км/ч.
Не объяснять обозначение буквы. Если не указать, что означает x, легко перепутать искомую величину с выраженной через неё. Запишите пояснение сразу после выбора неизвестной и проверьте, отвечает ли найденное число именно на вопрос задачи.
Составлять уравнение по отдельным числам. Числа из условия сами по себе не подсказывают порядок действий, поэтому запись может не отражать ситуацию. Проверьте каждую часть уравнения словами: описывают ли обе части одну и ту же величину?
Путать «на несколько» и «в несколько раз». Эти выражения задают разные связи: «на 4 больше» означает x + 4, а «в 4 раза больше» — 4x. Перечитайте формулировку и замените её короткой математической записью до составления уравнения.
Не проверять ответ. Найденное число может быть результатом арифметической ошибки, не подходить к единицам или отвечать не на тот вопрос. Подставьте его в уравнение, выполните проверку по условию и только потом запишите ответ.
До решения текстовых задач полезно уметь находить неизвестный компонент действий, составлять выражения и решать уравнения. Эти навыки позволяют быстро переходить от словесного условия к математической модели.
Один и тот же способ пригодится в задачах на движение, покупки, работу и совместное изменение величин. Меняются формулы и связи, но сохраняется порядок: неизвестная, модель, уравнение, проверка.
Проверка подстановкой связывает текстовые задачи с изучением уравнений. Она показывает, что корень должен не просто получиться при вычислениях, а сделать исходное равенство верным.
С чего лучше начинать решение текстовой задачи?
Сначала внимательно прочитайте условие и определите, что известно, а что требуется найти. Затем установите связь между величинами и выберите удобную неизвестную.
Как выбрать величину, которую обозначить буквой?
Обычно буквой обозначают величину, о которой спрашивается в задаче или через которую проще выразить остальные значения. После обозначения обязательно запишите, что именно означает эта буква.
Как понять, какое уравнение составить по условию?
Нужно найти связь, которая описывает одно и то же количество или величину двумя способами. Запишите обе части этой связи через неизвестную и известные числа, а затем соедините их знаком равенства.
Обязательно ли проверять найденное значение подстановкой?
Проверка подстановкой помогает обнаружить ошибку в вычислениях или составлении уравнения. Кроме того, нужно убедиться, что ответ подходит к вопросу, единицам измерения и ограничениям условия.
Что делать, если полученный ответ не подходит к условию?
Проверьте обозначение неизвестной, порядок действий и само уравнение. Если вычисления верны, но число невозможно по смыслу, модель составлена неправильно или не учтено ограничение задачи.
28. Решение задач
