33. Деление

Определения и обозначения

Деление — действие, обратное умножению: разделить число a на b значит найти число, которое при умножении на b даёт a. Например, 12 : 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12. Это определение помогает находить частное с помощью таблицы умножения.

Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. В записи 20 : 5 число 20 является делимым, а 5 — делителем. Эти названия нужны, чтобы не перепутать порядок чисел и правильно составить выражение.

Частное — результат деления, а запись a : b обозначает частное чисел a и b. В равенстве 18 : 6 = 3 число 3 является частным. По частному можно понять, сколько предметов приходится на одну часть или сколько групп удалось выделить.

Деление на ноль не определено: не существует числа, которое при умножении на ноль давало бы ненулевое делимое. Например, нельзя найти такое c, чтобы 7 : 0 = c, ведь 0 · c всегда равно 0. Поэтому ноль не может быть делителем.

Как это устроено

Деление связано с умножением: равенство a : b = c равносильно равенству b · c = a, если b не равно нулю. Это следует из смысла деления: мы ищем неизвестный множитель в произведении. Поэтому для вычисления частного можно подобрать число по таблице умножения.

Деление можно понимать как распределение делимого на равные части или как выяснение, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, 12 : 3 означает либо раздать 12 предметов трём участникам, либо узнать, сколько троек помещается в 12. Оба смысла приводят к одному результату, потому что в обоих случаях ищется число 4.

Чтобы проверить деление, частное умножают на делитель: должно получиться делимое. Такая проверка основана на обратной связи между двумя действиями. Если результат умножения отличается от делимого, значит, в вычислении допущена ошибка или неверно записаны числа.

Деление на 1 не меняет число, а деление нуля на любое ненулевое число даёт ноль. В первом случае число сохраняется, потому что a · 1 = a. Во втором случае частное равно нулю, поскольку b · 0 = 0 при любом b, не равном нулю.

При делении натуральных чисел иногда получается нецелое частное, поэтому различают точное деление и деление с остатком. При точном делении делимое полностью разбивается на равные части, например 20 : 5 = 4. Если часть делимого не удаётся распределить поровну, отдельно указывают остаток, который меньше делителя.

Связь деления с умножением и частные случаи

Сначала определите, какой случай дан в примере, и только потом выполняйте вычисление. Для обычного деления найдите число c, при котором b · c = a. После этого проверьте результат умножением, учитывая условие b ≠ 0.

Разбор задач

Задача 1. Простое деление

Вычислим 56 : 7 и проверим результат. Делимое равно 56, а делитель равен 7, поэтому нужно найти число, которое в семь раз меньше 56. Для проверки используем обратное действие — умножение.

1. Подбираем частное по таблице умножения: 7 · 8 = 56.
2. Записываем результат: 56 : 7 = 8.
3. Проверяем: 8 · 7 = 56, значит, частное найдено верно.

Ответ: 8. Проверка совпала с делимым, поэтому вычисление правильное.

Задача 2. Деление многозначных чисел

Вычислим 936 : 24. Удобно рассуждать по частям: сначала определить первую цифру частного, затем продолжить деление оставшегося числа. На каждом шаге проверяем, что выбранная цифра не даёт произведение больше текущего делимого.

1. 24 в 93 помещается 3 раза, потому что 24 · 3 = 72; вычитаем 72 и получаем 21.
2. Сносим цифру 6 и получаем 216. Число 24 помещается в 216 ровно 9 раз, так как 24 · 9 = 216.
3. Получаем частное 39. Проверяем всё деление: 39 · 24 = 936.

Ответ: 39. Умножение частного на делитель снова дало 936, значит, вычисление выполнено верно.

Задача 3. Деление в текстовой задаче

В 8 коробках поровну разложили 1 248 карандашей. Требуется узнать, сколько карандашей оказалось в каждой коробке, поэтому число карандашей нужно разделить на число коробок. Получаем выражение 1 248 : 8.

1. Делим 12 на 8 и получаем 1, после вычитания остаётся 4; сносим 4 и получаем 44.
2. 44 делим на 8 и получаем 5, остаток 4; сносим 8 и получаем 48.
3. 48 делим на 8 и получаем 6, поэтому частное равно 156.
4. Проверяем: 156 · 8 = 1 248.

Ответ: в каждой коробке 156 карандашей. Проверка показывает, что все карандаши учтены.

Типичные ошибки

Путают делимое и делитель, потому что не учитывают порядок записи. В выражении a : b делят именно a на b, а не наоборот. Чтобы проверить себя, назовите числа словами перед вычислением: первое — делимое, второе — делитель.

Считают, что a : 0 равно нулю или самому a, перенося свойства деления на 1 на ноль. Но деление на ноль не определено, поскольку 0 · c не может дать ненулевое a. Всегда проверяйте, не оказался ли делитель равным нулю.

Полагают, что 0 : b не определено, хотя это верно только для деления на ноль. При b ≠ 0 частное равно нулю, потому что b · 0 = 0. Например, 0 : 6 = 0.

Не проверяют частное умножением или при проверке меняют местами множители и получают неверный результат. Перестановка множителей сама по себе допустима, но умножить нужно именно частное на делитель. Результат проверки обязан совпасть с делимым.

Связь с другими темами

До изучения деления нужно знать таблицу умножения и понимать, что деление является действием, обратным умножению. Эти знания позволяют быстро находить частные и проверять вычисления.

Деление встречается в текстовых задачах на распределение предметов поровну и определение числа одинаковых групп. Позже оно понадобится при действиях с дробями и десятичными числами, где правила сохраняют ту же связь с умножением.

Что запомнить

• Деление связано с умножением как обратное действие.
• В записи a : b число a — делимое, число b — делитель.
• Частное проверяют умножением на делитель.
• На 1 делят без изменения числа.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• На ноль делить нельзя.