"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Текстовая задача описывает жизненную ситуацию, в которой по известным данным нужно найти неизвестное. Чтобы решить её, недостаточно выбрать первое подходящее действие: нужно понять условие, выделить величины и их связи, построить математическую модель. Затем составляют выражение или уравнение, выполняют вычисления и проверяют результат. Такой порядок помогает избежать случайных действий и записать ответ точно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестное. Например, по числу карандашей в одной коробке и разнице между коробками можно узнать общее количество. Это определение помогает отличать задачу от отдельного примера: здесь нужно установить связи между величинами.
Условие задачи — сведения о величинах и их связях, данные в тексте задачи. В условии могут быть числа, единицы измерения и слова, показывающие отношения: «на больше», «в несколько раз», «за время». Условие нужно внимательно прочитать, чтобы понять, какие данные известны.
Требование задачи — вопрос, на который нужно получить ответ. Оно может начинаться словами «сколько», «какова скорость», «найдите число» или «через сколько времени». Требование показывает, какую именно величину следует найти и в какой форме записать ответ.
Математическая модель — схема, таблица, выражение или уравнение, описывающие условие задачи. Модель заменяет длинный текст короткой математической записью, сохраняя важные связи. С её помощью легче выбрать действия и не потерять смысл условия.
Сначала отделяют условие от требования: условие отвечает на вопрос «что известно?», а требование — «что найти?». Затем выписывают величины, их значения и единицы измерения, отмечая неизвестную величину. Такой анализ нужен потому, что одно и то же число может участвовать в разных связях, а вопрос определяет направление решения.
Перед вычислениями устанавливают, как величины зависят друг от друга. Например, количество предметов в двух коробках связано сложением, а расстояние, скорость и время — умножением и делением. Если начать считать только по знакомым словам, можно выбрать действие, которое не соответствует всей ситуации.
Текст переводят в краткую запись, схему, таблицу или рисунок. В краткой записи удобно указать название величины, её значение и единицу, а в схеме — показать части и целое или направление движения. Модель делает видимыми связи, которые в обычном тексте могут быть скрыты.
После построения модели составляют выражение или уравнение. Выражение подходит, если порядок действий уже понятен, а уравнение — если неизвестное входит в связь и его нужно найти. Затем выполняют действия или решают уравнение, поясняя смысл промежуточных результатов.
Проверка нужна, потому что правильные вычисления ещё не гарантируют правильного решения задачи. Результат сопоставляют с условием, проверяют единицы и подставляют найденное значение в исходную связь. В конце записывают ответ словами, чтобы он точно соответствовал вопросу.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины | Понято, что дано и что требуется найти |
| Выбор модели | Установить связи между величинами с помощью схемы, таблицы, выражения или уравнения | Составлена математическая модель |
| План решения | Определить последовательность действий | Выбран способ решения |
| Вычисление | Выполнить действия или решить уравнение | Получено значение неизвестной величины |
| Проверка и ответ | Сопоставить результат с условием и записать ответ словами | Подтверждена правильность решения |
Таблицу удобно использовать как памятку перед записью решения. Если на каком-то этапе нет ясного результата, не следует переходить к вычислениям: нужно вернуться к условию и уточнить связи.
Для простой задачи некоторые этапы могут быть записаны кратко, а для сложной полезно подробно показать модель и план. Главное — сохранить порядок: понять, представить, вычислить, проверить.
Задача 1. В одной коробке 24 карандаша, а в другой на 8 карандашей меньше. Сколько карандашей в двух коробках? Неизвестно количество карандашей во второй коробке, затем требуется найти сумму в двух коробках.
Ответ: 40 карандашей. Второй шаг нельзя выполнить первым, потому что количество карандашей во второй коробке сначала нужно определить.
Задача 2. Велосипедист проехал 36 км за 3 часа. С какой скоростью он двигался? Сколько километров он проедет за 5 часов с той же скоростью? Здесь применяем связи: скорость равна расстоянию, делённому на время, а расстояние равно скорости, умноженной на время.
Ответ: скорость — 12 км/ч; за 5 часов велосипедист проедет 60 км. Единицы показывают, что найдено сначала и что требуется во второй части.
Задача 3. После того как из некоторого числа вычли 18, получили число, равное половине исходного. Пусть исходное число равно x. Тогда после вычитания получилось x − 18, а условие связывает его с половиной исходного числа.
Ответ: исходное число — 36. Проверка подтверждает, что найденное значение подходит условию.
Сразу выполнять действия. Ученик видит числа и начинает считать, не определив вопрос и связи между данными. Так можно получить вычислительно верное, но не относящееся к задаче число. Перед решением сформулируйте, что дано и что требуется найти.
Выбирать действие по одному слову. Слова «больше» и «меньше» не всегда подсказывают действие без учёта всей ситуации. Например, «на 8 меньше» означает вычитание из сравниваемого количества, но порядок зависит от того, что именно известно. Проверьте действие по схеме или смыслу величин.
Смешивать единицы. Нельзя складывать, например, километры и метры без предварительного приведения к одной единице. Ошибку часто допускают из-за невнимательности при чтении чисел. Выпишите единицы рядом с величинами и преобразуйте их до вычислений.
Записывать только число. Без пояснения непонятно, что найдено, а без проверки число может не отвечать вопросу. Сверьте результат с условием и запишите ответ с названием величины и единицей измерения.
Для решения задач нужны навыки чтения условия, арифметические действия и работа с величинами и единицами измерения. Эти умения продолжаются в темах об уравнениях, пропорциях, движении, работе, покупках и процентах.
Краткая запись, таблица и схема связывают текст с математической моделью реальной ситуации. Поэтому решение задач помогает не только считать, но и строить модели, которые используются в алгебре и геометрии.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какую величину требуется найти и какие данные связаны с ней непосредственно. Первым выполняют действие, которое находит промежуточную величину, необходимую для дальнейшего решения.
Когда для решения задачи удобнее составлять уравнение?
Уравнение удобно составлять, когда неизвестная величина входит в несколько связей или условие описывает её через другие величины. Особенно полезен этот способ в задачах, где неизвестное число изменяют, сравнивают или делят на части.
Обязательно ли делать краткую запись или схему?
Не всегда: простую задачу можно решить после внимательного чтения. Но краткая запись или схема помогает не перепутать величины, увидеть связи и выбрать порядок действий, поэтому при сложном условии она очень полезна.
Как проверить, что полученный ответ имеет смысл?
Сравните результат с условием: количество не должно быть отрицательным или противоречить указанным ограничениям. Проверьте единицы измерения, подставьте найденное значение обратно и убедитесь, что ответ отвечает именно на вопрос.
Что делать, если в условии есть лишние или неиспользованные данные?
Не нужно специально включать каждое число в решение. Проверьте, можно ли получить требуемую величину без этих данных и не нарушена ли связь между величинами; иногда сведения действительно являются лишними.
4. Решение задач
