40. Уменьшение числа в несколько раз

Определения и обозначения

Уменьшить число в несколько раз — значит разделить его на указанное число раз. Например, уменьшить 18 в 3 раза — это вычислить 18 : 3 и получить 6. Такой способ нужен, когда требуется узнать количество, которое стало меньше в несколько раз, а не на определённое число единиц. Число раз показывает, на сколько равных частей делят исходное количество.

Вопрос «во сколько раз меньше?» относится к кратному сравнению чисел: большее число делят на меньшее. Например, 20 больше 5 в 4 раза, потому что 20 : 5 = 4. Сравнение помогает определить не разность чисел, а отношение их величин. Сначала нужно понять, какое из чисел больше, чтобы делимое и делитель не перепутались.

Деление — действие, с помощью которого находят число, уменьшенное в несколько раз. В записи 24 : 3 = 8 число 24 называют делимым, число 3 — делителем, а число 8 — частным. Делимое показывает исходное количество, делитель — во сколько раз его уменьшают. Эти названия помогают читать выражение и правильно выбирать действие в задаче.

Частное — результат деления. Если 24 уменьшают в 3 раза, частное 24 : 3 = 8 и есть искомый результат. Значит, чтобы найти число после уменьшения, нужно вычислить частное исходного числа и числа раз. Понимание этого связывает словесное условие задачи с математической записью.

Как это устроено

Представь 12 одинаковых предметов, разложенных поровну в 3 группы. В каждой группе окажется 12 : 3 = 4 предмета, поэтому количество в одной группе в 3 раза меньше общего количества. Вычитание 3 дало бы 12 − 3 = 9, но девять предметов не образуют одну из трёх равных групп. Поэтому слова «в 3 раза» указывают на деление, а не на вычитание числа 3.

При уменьшении исходное число становится делимым, число раз — делителем, а найденный результат — частным. Например, 30 : 5 = 6: число 30 разделили на 5 равных частей и получили 6 в каждой части. Проверка опирается на связь деления с умножением: частное умножают на делитель, и должно получиться делимое. Здесь 6 · 5 = 30, значит, вычисление верно.

Слова «уменьшить на несколько единиц» и «уменьшить в несколько раз» похожи, но задают разные действия. Если число 24 нужно уменьшить на 3 единицы, от него отнимают 3 и получают 21. Если 24 нужно уменьшить в 3 раза, число делят на 3 и получают 8. Различие появляется из-за смысла условия: единицы задают, сколько отнять, а число раз — на сколько равных частей разделить.

В текстовой задаче сначала найди количество, которое требуется уменьшить, и число раз. Например, если в первой коробке 36 карандашей, а во второй в 4 раза меньше, количество во второй коробке равно 36 : 4. Вычисли частное и запиши его вместе с единицей измерения: 9 карандашей. Единицы нужны, чтобы было ясно, что ответ обозначает именно количество предметов, а не просто число.

Иногда в условии известны результат уменьшения и число раз, а исходное количество неизвестно. Тогда используют обратную связь деления и умножения: исходное число равно результату, умноженному на число раз. Если после уменьшения в 5 раз получилось 8, то исходное число равно 8 · 5 = 40. Проверка показывает, что 40 : 5 = 8, то есть условие выполняется.

Как изменяется число

В таблице сравниваются действия, которые могут скрываться за похожими формулировками. В строках о сравнении и восстановлении исходного числа важно определить, какие числа известны и что именно требуется найти.

Пользуйся таблицей так: сначала определи ситуацию по словам задачи, затем выбери действие. Если требуется уменьшить на единицы — вычитай; если в несколько раз — дели. Для восстановления исходного числа по результату умножай.

Разбор задач

Задача. Уменьшите число 24 в 3 раза. Здесь исходное число дано, а слова «в 3 раза» указывают, на сколько равных частей нужно его разделить. Требуется найти результат уменьшения, поэтому выбираем деление. После вычисления проверим ответ умножением.

1. Записываем исходное число и число раз: 24 и 3.
2. Составляем выражение 24 : 3.
3. Вычисляем: 24 : 3 = 8. Проверяем: 8 · 3 = 24, значит, результат верный.

Ответ: 8.

Задача. В одной коробке 36 карандашей, а в другой в 4 раза меньше. Сколько карандашей во второй коробке? Уменьшается количество карандашей, а не число коробок; известное исходное количество равно 36. Формулировка «в 4 раза меньше» означает, что карандаши второй коробки составляют одну из четырёх равных частей.

1. Находим исходное количество: 36 карандашей.
2. Выбираем деление и составляем выражение: 36 : 4.
3. Вычисляем: 36 : 4 = 9. Для проверки умножаем: 9 · 4 = 36.

Ответ: во второй коробке 9 карандашей. Единица измерения — карандаши — показывает, что найдено количество предметов.

Задача. После уменьшения числа в 5 раз получили 8. Найдите исходное число и объясните проверку. Здесь неизвестно число, которое делили, но известны частное и делитель. Значит, нужно восстановить делимое обратным действием — умножением.

1. Записываем известные данные: частное равно 8, делитель равен 5.
2. Находим исходное число: 8 · 5 = 40.
3. Проверяем исходное действие: 40 : 5 = 8. Получили указанное в условии число, поэтому ответ подходит.

Ответ: исходное число — 40. Проверка делением подтверждает, что при уменьшении 40 в 5 раз получается 8.

Типичные ошибки

Иногда число раз вычитают из исходного числа: например, считают, что 24, уменьшенное в 3 раза, равно 21. Так происходит, когда слова «в 3 раза» путают со словами «на 3 единицы». Проверь формулировку: если указано «в несколько раз», нужно делить; если «на несколько единиц» — вычитать. Для 24 правильный результат уменьшения в 3 раза равен 8.

Другая ошибка — принять число раз за исходное число и разделить его на исходное. Например, в условии «36 карандашей, в 4 раза меньше» делят 4 на 36, хотя уменьшается количество 36. Чтобы не перепутать числа, сначала спроси себя, какое количество было сначала и какое нужно найти. Исходное количество становится делимым, а число раз — делителем.

В обратной задаче иногда снова выполняют деление, хотя исходное число уже уменьшено и известен результат. Это происходит из-за привычки выбирать деление при любых словах об уменьшении. Если известны результат и число раз, исходное число восстанавливают умножением: результат умножают на число раз. Проверка делением должна вернуть известный результат.

Ответ может быть записан без единиц измерения или оставлен без проверки. Тогда непонятно, что именно посчитано, и легко не заметить ошибку в действии. Записывай, например, «9 карандашей», а затем умножь 9 на 4: если получено исходное количество 36, ответ согласуется с условием. В задачах без предметных единиц проверь деление умножением.

Связь с другими темами

Чтобы уменьшать числа в несколько раз, нужно уметь делить натуральные числа и понимать деление как разделение на равные части. Таблица умножения помогает быстро находить частное и проверять его: частное умножают на делитель. Те же действия используются при кратном сравнении величин и в текстовых задачах о предметах, расстояниях или времени. Деление и умножение также понадобятся при изучении дробей и отношений.

Что запомнить

• Уменьшить число в несколько раз — значит разделить его на число раз.
• Уменьшить число на несколько единиц — значит вычесть.
• В выражении «в 4 раза меньше» число 4 является делителем.
• Чтобы проверить результат деления, умножь его на делитель.
• Если известны результат уменьшения и число раз, исходное число находят умножением.