41. Умножение и деление с числом 1

Определения и обозначения

Единица — число, которое при умножении не изменяет другой множитель. Например, при умножении 8 на 1 получается 8. Это понятие помогает сразу распознавать действия, в которых вычисления можно заменить простой записью исходного числа.

Нейтральный элемент умножения — число 1, поскольку a · 1 = 1 · a = a. Слово «нейтральный» означает, что число не меняет результат умножения на другой множитель. Обозначение a используют вместо любого числа, поэтому правило подходит и для числовых, и для буквенных выражений.

Деление на единицу — действие, при котором частное равно делимому: a : 1 = a. Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Это правило позволяет быстро упростить запись, не выполняя вычислений.

Частное — результат деления; при делении числа 1 на ненулевое число получается число, обратное делителю. Например, 1 : 8 = 1/8. Это определение помогает отличать деление 1 на число от деления числа на 1 и помнить, что делитель не может быть равен нулю.

Как это устроено

Умножение натурального числа на другое натуральное можно представить как сложение одинаковых слагаемых. В записи 8 · 1 число 8 нужно взять в качестве слагаемого один раз, поэтому сумма состоит только из самого числа 8. Так становится понятно, почему умножение любого числа на 1 не меняет его. Правило распространяется и на числа, для которых умножение не объясняют как повторное сложение: оно закреплено общими свойствами умножения.

Если единица стоит первым множителем, можно применить переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому 1 · a = a · 1, а затем по правилу умножения на единицу получаем a · 1 = a. Например, 1 · 8 = 8. Переместительное свойство действует при умножении, но его нельзя автоматически переносить на деление.

Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Если число a разделить на 1, получится a, ведь a · 1 = a. Именно поэтому равенство a : 1 = a удовлетворяет проверке. Например, результат 8 : 1 равен 8, поскольку 8 · 1 снова даёт 8.

Правила умножения и деления связаны обратностью этих действий. Если a · 1 = a, то деление a на 1 возвращает число, которое при умножении на 1 даёт делимое a. Таким числом является само a, поэтому a : 1 = a. Проверка через умножение помогает не только запомнить правило, но и убедиться в правильности ответа.

Умножение числа на 1 и деление 1 на число — разные действия, хотя в обоих записях встречается единица. В первом случае исходное число сохраняется: a · 1 = a. Во втором случае единицу делят на делитель, поэтому результат обычно дробный и зависит от его значения: 1 : 8 = 1/8. Делитель должен быть ненулевым, поскольку деление на ноль не определено.

Умножение и деление с числом 1

Найди в таблице нужное действие и сначала проверь порядок чисел: при делении он важен. Затем подставь правило и выполни оставшиеся действия, если они есть. Для выражения 1 : a отдельно проверь, что a не равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 347 · 1 + 56 : 1. В выражении есть два действия с единицей, а после них — сложение. Сначала заменим умножение и деление на 1 соответствующими числами. Затем сложим полученные значения.

1. По правилу a · 1 = a получаем 347 · 1 = 347.
2. По правилу a : 1 = a получаем 56 : 1 = 56.
3. Складываем: 347 + 56 = 403.

Ответ: 403. Сначала упростили действия с единицей, затем выполнили сложение. Такая последовательность помогает не спутать правило с вычислением всего выражения.

Задача 2. Найти неизвестные числа: x · 1 = 729 и y : 1 = 0. Здесь нужно восстановить неизвестное по правилу умножения или деления на единицу. В обоих равенствах действие с единицей не изменяет число, поэтому можно сразу определить, какое число стояло на месте неизвестного. Каждое найденное значение проверим подстановкой.

1. Из x · 1 = 729 следует x = 729, потому что x · 1 = x.
2. Из y : 1 = 0 следует y = 0, потому что y : 1 = y.
3. Проверяем: 729 · 1 = 729, а 0 : 1 = 0.

Ответ: x = 729, y = 0. Проверка подтверждает оба значения. Обрати внимание, что деление нуля на 1 допустимо и даёт ноль.

Задача 3. Составить выражение и вычислить его значение: из произведения числа 125 и 1 вычесть частное 1 и 5. Слова «произведение» и «частное» подсказывают, какие действия нужно записать. Из первого результата вычитается второй, значит, выражение будет разностью двух частей. Затем применим правила для умножения на 1 и деления 1 на число.

1. Записываем выражение: 125 · 1 − 1 : 5.
2. Вычисляем умножение: 125 · 1 = 125.
3. Вычисляем деление: 1 : 5 = 1/5.
4. Вычитаем: 125 − 1/5 = 124 4/5.

Ответ: 124 4/5. Деление 1 на 5 не сохраняет число 5, а даёт дробь 1/5. Вычитание выполняется после умножения и деления, поэтому порядок действий соблюдён.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a · 1 = 1 или 1 · a = 1. Так иногда смешивают умножение на единицу с умножением на ноль: при умножении на ноль действительно получается ноль, а на 1 множитель сохраняется. Проверь ответ на простом примере, например 8 · 1 = 8. Если получилось 1, правило применено неверно.

Ошибка: записывать a : 1 = 1. При делении сохраняется делимое, а не делитель, поэтому a : 1 = a. Эту запись можно проверить умножением: предполагаемое частное нужно умножить на 1 и получить делимое. Если вместо a получилось 1, проверка не совпала.

Ошибка: путать 1 : a с a : 1. При делении числа и их роли нельзя менять местами: 8 : 1 = 8, но 1 : 8 = 1/8. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением назови делимое и делитель и проверь их порядок в записи. Переместительное свойство относится к умножению, а не к делению.

Ошибка: пытаться делить на 0, применяя правило для единицы. Правило a : 1 = a работает только тогда, когда делитель равен 1, и не даёт права делить на любое число. Деление на ноль не определено, потому что умножение любого числа на 0 даёт 0, а не делимое, отличное от нуля. Перед делением проверь, не равен ли делитель нулю.

Связь с другими темами

Для понимания правил нужны смысл умножения и деления, названия их компонентов и проверка деления умножением. Переместительное свойство объясняет, почему 1 · a = a, а правила действий с нулём помогают не смешивать умножение на 1 с умножением на 0. Эти знания пригодятся при упрощении числовых и буквенных выражений, решении уравнений и сокращении вычислений. Например, действия с единицей можно убрать, прежде чем выполнять остальные вычисления.

Что запомнить

• Умножение на 1 не изменяет число.
• 1 · a = a.
• a · 1 = a.
• Деление числа на 1 не изменяет число.
• a : 1 = a.
• 1 : a имеет смысл только при a ≠ 0.
• На 0 делить нельзя.