43. Умножение и деление с числом 0

Определения и обозначения

Умножение на ноль — произведение любого числа и нуля равно нулю: a · 0 = 0. Это правило означает, что ноль полностью определяет результат, каким бы ни был второй множитель. Оно нужно, чтобы быстро вычислять произведения с нулём.

Деление нуля на число — если делитель не равен нулю, частное нуля и этого числа равно нулю: 0 : a = 0 при a ≠ 0. Нулю не нужно ничего распределять между группами, поэтому в каждой группе получится ноль. Правило помогает выполнять деление и проверять его обратным умножением.

Деление на ноль — действие, не имеющее смысла в арифметике; делитель не может быть равен нулю. Записи a : 0 и 0 : 0 нельзя считать обычными примерами деления с готовым ответом. Это ограничение нужно учитывать перед началом вычислений.

Как это устроено

Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 означает 4 + 4 + 4, то есть число 4 взяли три раза. Если число взять ноль раз, слагаемых нет, а сумма без слагаемых равна нулю, поэтому a · 0 = 0.

Умножение обладает переместительным свойством: от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, 0 · a и a · 0 имеют один и тот же результат. Так как a · 0 = 0, получаем и 0 · a = 0.

Деление связано с умножением: найти частное 0 : a означает найти такое число, которое в произведении с a даст 0. При a ≠ 0 подходит число 0, потому что 0 · a = 0. Поэтому 0 : a = 0, а проверить результат можно обратным умножением.

При делении числа a на 0 нужно было бы найти такое число, которое при умножении на 0 даст a. Но произведение любого числа на 0 равно только 0. Если делимое ненулевое, подходящего числа нет, поэтому деление на ноль невозможно.

Запись 0 : 0 тоже нельзя объявить равной нулю. Подойдут не только 0, но и 1, 2, 100 и любое другое число, ведь каждое из них при умножении на 0 даёт 0. Поскольку частное не определяется единственным образом, выражение не имеет определённого значения.

Умножение и деление с нулём

В таблице собраны основные случаи. В строке с делением сначала проверяйте условие для делителя, иначе можно применить правило неправильно. Обозначение a означает любое число, если рядом не указано дополнительное ограничение.

Разбор задач

Задача 1

Вычислите: 17 · 0 и 0 · 17. В обоих выражениях один из множителей равен нулю, поэтому порядок множителей не влияет на применение правила. Нужно отдельно рассмотреть каждое произведение.

1. В выражении 17 · 0 число 17 умножается на ноль, значит, результат равен 0.
2. В выражении 0 · 17 ноль умножается на число, поэтому результат также равен 0.
3. Записываем оба ответа: 17 · 0 = 0 и 0 · 17 = 0.

Ответ: 0 и 0.

Задача 2

Вычислите 0 : 8 и проверьте результат умножением. Делитель 8 не равен нулю, значит, деление допустимо. По правилу деления нуля на ненулевое число частное равно нулю.

1. Находим частное: 0 : 8 = 0.
2. Для проверки умножаем частное на делитель: 0 · 8 = 0.
3. Получили исходное делимое, поэтому результат верен.

Ответ: 0; проверка: 0 · 8 = 0.

Задача 3

Определите, имеет ли смысл выражение 12 : 0 и можно ли найти x из равенства 0 · x = 12. Делитель в первой записи равен нулю, поэтому обычное деление уже запрещено. Вторую запись проверим по правилу умножения на ноль.

1. Выражение 12 : 0 не имеет смысла, потому что никакое число при умножении на 0 не даст 12.
2. В равенстве 0 · x = 12 левая часть всегда равна 0 при любом x.
3. Числа 0 и 12 не равны, поэтому подходящего x не существует.

Ответ: 12 : 0 не имеет смысла; уравнение 0 · x = 12 решений не имеет.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0 · a = a. Так путают умножение на ноль с умножением на единицу, ведь 1 · a = a. Проверка проста: в произведении с нулём результат всегда должен быть 0.

Ошибка: утверждать, что 0 : a не имеет смысла при любом a. Деление нуля разрешено, если делитель не равен нулю, например 0 : 5 = 0. Проверьте ответ умножением: 0 · 5 = 0.

Ошибка: записывать a : 0 = 0. Правило 0 : a = 0 работает только тогда, когда ноль стоит в делимом, а делитель a ненулевой. Перед делением посмотрите именно на число после знака деления.

Ошибка: считать, что 0 : 0 = 0. При проверке выясняется, что 0 · 0 = 0, но то же верно для любого другого множителя. Так как частное не единственное, выражение не имеет определённого значения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно понимать смысл умножения и деления, а также связь между этими действиями. Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают результат с делимым. Это объясняет правила для нуля и показывает, почему нулевой делитель недопустим.

Правила пригодятся при вычислениях со скобками и буквенными выражениями, преобразовании формул и решении уравнений. Особенно полезно сначала проверять, не равен ли делитель нулю. Такое условие часто определяет, допустимо ли выражение и есть ли у уравнения решение.

Что запомнить

• a · 0 = 0.
• 0 · a = 0.
• 0 : a = 0, если a ≠ 0.
• На ноль делить нельзя.
• Выражение 0 : 0 не имеет определённого значения.
• Перед делением проверяй, что делитель не равен нулю.