44. Порядок действий в выражениях без скобок

Определения и обозначения

Порядок действий — правила, по которым определяют, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Они нужны, чтобы все читали запись одинаково и получали один и тот же результат. Если не учитывать порядок, у выражения могут появиться разные значения. Поэтому перед вычислением полезно понять, какие действия в нём есть.

Действия первой ступени — сложение и вычитание; их выполняют после действий второй ступени. Например, в записи 8 + 3 × 2 сложение относится к первой ступени. Это понятие помогает не начинать вычисления с плюса, если в выражении есть умножение или деление.

Действия второй ступени — умножение и деление; их выполняют раньше сложения и вычитания. В записи 8 + 3 × 2 сначала выполняют умножение, а затем сложение. Разделение действий на ступени помогает быстро определить, какие части выражения нужно вычислить первыми.

Действия одинаковой ступени — действия с равным приоритетом; в выражении без скобок их выполняют слева направо. Так, сложение и вычитание равноправны, как и умножение с делением. Это правило нужно, чтобы выбрать последовательность, когда в выражении есть несколько действий одного приоритета.

Как это устроено

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, чтобы значение выражения определялось однозначно. Например, запись 2 + 3 × 4 означает, что сначала берут произведение 3 × 4, а потом прибавляют 2. Если выполнить сначала сложение, получится другое число, поэтому без общего правила читатели не смогли бы одинаково понимать запись. Приоритет действий заменяет пояснения, которые иначе пришлось бы добавлять к каждому выражению.

Чтобы определить последовательность действий, сначала найди все умножения и деления. Выполни их по порядку слева направо, сохраняя остальные числа и знаки в записи. Затем переходи к сложению и вычитанию и также двигайся слева направо. Такой способ делит вычисление на два понятных этапа и помогает не пропустить действие.

Умножение и деление относятся к одной ступени, поэтому одно из них не получает преимущество только из-за своего знака. Если в записи сначала стоит деление, а за ним умножение, первым будет деление: приоритет одинаковый, и решает расположение слева направо. Например, выражение 24 : 6 × 3 нельзя сначала переписать как 24 : (6 × 3), потому что это изменит порядок вычислений. Скобки допустимы только тогда, когда они есть в исходной записи или вводятся для обозначения уже выбранного шага.

Чтобы записать порядок, можно пронумеровать знаки действий: единицами отметить умножение и деление слева направо, затем следующими номерами — сложение и вычитание. После этого выполняй действия по номерам и каждый раз записывай получившееся промежуточное выражение. Такой способ особенно удобен в длинных записях, где легко перескочить через знак. Важно при каждом переходе сохранять оставшийся порядок действий.

Проверяя вычисление, сначала сравни первый шаг с правилами: не было ли перед ним умножения или деления левее, которое ещё не выполнено. Затем проверь, что равноправные действия не переставлены местами. Наконец, пересчитай промежуточные результаты и убедись, что каждый знак и число перенесены в следующую строку. Такая проверка помогает найти не только ошибку в порядке, но и обычную вычислительную неточность.

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок

Сначала определи, к какой ступени относится каждый знак в выражении. Если ступень у действий одинаковая, выполняй их в том порядке, в котором они записаны слева направо. Таблица помогает быстро проверить последовательность перед вычислением.

Разбор задач

Вычислите 18 − 6 + 4.

Здесь есть только вычитание и сложение, то есть действия одной ступени. Поэтому нельзя выбирать первое действие по тому, кажется ли оно проще: нужно двигаться слева направо. Сначала получим результат вычитания, а к нему прибавим 4.

1. Выполняем действие слева: 18 − 6 = 12.
2. В полученном выражении 12 + 4 выполняем оставшееся действие: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16. Проверка порядка проста: знак вычитания стоял левее знака сложения, поэтому вычитание было выполнено первым. Если бы мы сначала посчитали 6 + 4, мы бы нарушили правило движения слева направо.

Вычислите 24 : 6 × 3 + 5.

В выражении есть деление и умножение второй ступени, а также сложение первой ступени. Сначала разбираемся с делением и умножением; поскольку они равноправны, читаем их слева направо. Только после этого прибавляем 5.

1. Первым стоит деление: 24 : 6 = 4. Получаем 4 × 3 + 5.
2. Следующим выполняем умножение: 4 × 3 = 12. Получаем 12 + 5.
3. Теперь выполняем сложение: 12 + 5 = 17.

Ответ: 17. Деление нельзя было отложить ради умножения, потому что оно стоит левее и относится с ним к одной ступени. Сложение выполнено последним, так как это действие первой ступени.

Вычислите 48 − 18 : 3 × 2 + 7.

Здесь представлены все четыре действия. Сначала выполним деление и умножение по порядку слева направо, не переходя пока к вычитанию и сложению. Затем оставшиеся действия первой ступени также посчитаем слева направо. Такой разбор не позволяет случайно начать с числа 48 − 18.

1. Сначала деление: 18 : 3 = 6. Получаем 48 − 6 × 2 + 7.
2. Затем умножение: 6 × 2 = 12. Получаем 48 − 12 + 7.
3. Теперь идём слева направо среди действий первой ступени: 48 − 12 = 36. Получаем 36 + 7.
4. Выполняем сложение: 36 + 7 = 43.

Ответ: 43. В записи порядок ступеней соблюдён: сначала вычислены деление и умножение, затем вычитание и сложение. Внутри каждой ступени действия выполнены в том же порядке, в каком они стояли в выражении.

Типичные ошибки

Выполнять действия просто слева направо. Так можно начать со сложения или вычитания, хотя в выражении ещё осталось умножение либо деление. Эту ошибку допускают, если воспринимают запись как цепочку без приоритетов. Проверь себя: перед первым шагом найди все знаки второй ступени и убедись, что начинаешь с них.

Считать умножение приоритетнее деления или наоборот. Оба действия относятся ко второй ступени, поэтому ни одно не нужно специально ставить первым. Ошибка возникает, когда привычное представление о «более важном» действии подменяет правило. Проверь расположение знаков: среди умножения и деления начинай с самого левого.

Менять порядок умножения и деления в выражении. Например, нельзя сначала выполнить умножение, если левее него записано ещё не выполненное деление. Иногда так поступают, считая, что результаты можно сгруппировать по знакам. Для проверки прочитай выражение слева направо и отмечай каждое действие второй ступени по очереди.

Считать сложение приоритетнее вычитания или наоборот. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому в выражении без скобок их выполняют слева направо. Ошибка может появиться, если ученик начинает с удобного для счёта действия. Проверь себя: после умножения и деления двигайся по оставшимся знакам слева направо, не переставляя сложение и вычитание.

Связь с другими темами

Для вычисления выражений без скобок нужны навыки сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Если сами действия выполняются с ошибками, правильный порядок не поможет получить верный ответ, поэтому полезно проверять и последовательность, и вычисления. Эти правила пригодятся и при работе с выражениями со скобками: скобки добавляют отдельное правило, но приоритет действий внутри частей выражения тоже нужно учитывать. Порядок действий важен также при подстановке чисел в буквенные выражения, чтобы правильно вычислить получившуюся запись.

Что запомнить

• В выражении без скобок сначала выполняют действия второй ступени.
• Умножение и деление имеют одинаковый приоритет.
• Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• После умножения и деления выполняют сложение и вычитание.
• Перед вычислением полезно отметить последовательность действий.