45. Умножение и деление с числом 6

Определения и обозначения

Умножение на 6 — действие, при котором число 6 берут слагаемым столько раз, сколько показывает второй множитель. Например, запись 6 · n означает сумму из n шестёрок. Она помогает быстро записывать сложение одинаковых слагаемых и находить их сумму.

Таблица умножения на 6 — набор произведений 6 · n для разных значений n. В строке выбирают значение n, а в столбце находят соответствующее произведение; если таблица оформлена иначе, ориентируются по заголовкам строк и столбцов. Таблица нужна, чтобы быстро вспоминать произведения и связанные с ними случаи деления.

Деление на 6 — действие, обратное умножению на 6. В записи m : 6 нужно найти такое число, которое при умножении на 6 даёт m. Это действие используют, когда известно общее количество и нужно определить число равных групп или количество предметов в каждой группе.

Частное — результат деления: в равенстве m : 6 = n частным является n. Чтобы проверить его, умножают частное на делитель: n · 6 должно быть равно делимому m. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в вычислении.

Как это устроено

Чтобы получить произведения с числом 6, можно каждый раз прибавлять шесть: 6, 12, 18, 24 и так далее. Это работает потому, что при переходе от 6 · n к 6 · (n + 1) к прежней сумме добавляется ещё одно слагаемое 6. Поэтому каждое следующее произведение становится больше предыдущего на 6. Например, после 6 · 4 = 24 получаем 6 · 5 = 24 + 6 = 30.

Множители при умножении можно менять местами, не меняя произведения: 6 · n = n · 6. Это свойство позволяет использовать уже известные факты: если ученик знает, что 3 · 6 = 18, то он сразу знает и 6 · 3 = 18. Так таблицу на 6 легче заполнить и выучить, ведь не каждый пример приходится запоминать отдельно. Перестановка относится к множителям, а не к сложению или вычитанию.

Умножение помогает восстановить два связанных случая деления. Если 6 · n = m, то из общего количества m можно выделить группы по 6: m : 6 = n. Можно также разделить m на n равных групп и получить размер каждой группы: m : n = 6. Например, из 6 · 7 = 42 следуют 42 : 6 = 7 и 42 : 7 = 6. Эти равенства связаны одними и теми же числами.

Таблица умножения на 6 помогает находить частные потому, что деление на 6 ищет недостающий множитель. Чтобы вычислить 54 : 6, не нужно перебирать числа: достаточно вспомнить, что 6 · 9 = 54. Значит, частное равно 9. Если произведение не вспоминается сразу, его можно найти последовательным прибавлением шести или воспользоваться перестановкой множителей.

Проверка строится на связи двух обратных действий. После деления умножь частное на делитель: если 42 : 6 = 7, то 7 · 6 должно дать 42. Умножение можно проверить разложением на равные слагаемые: 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Можно также использовать деление как обратное действие, если числа подходят и деление выполняется без остатка. Проверка показывает, согласуется ли ответ с исходными числами.

Умножение и деление с числом 6

Выбери строку с нужным n, чтобы увидеть произведение 6 · n и равное ему n · 6. Последние два столбца показывают, что произведение можно разделить на один из множителей и получить другой. Например, в строке n = 7 видны равенства 42 : 6 = 7 и 42 : 7 = 6.

Разбор задач

Вычислить 6 · 4

Нужно узнать, сколько получится, если взять четыре шестёрки. Можно обратиться к таблице, а можно составить сумму одинаковых слагаемых. Второй способ показывает, почему умножение даёт именно такой результат.

1. Записываем повторяющееся сложение: 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Здесь четвёрка показывает, сколько раз взяли слагаемое 6. Складываем по порядку: 6 + 6 = 12, ещё + 6 = 18, ещё + 6 = 24.
2. Сверяем результат с таблицей умножения на 6. В строке n = 4 стоит 24, значит, вычисление подтверждается. Оба способа дают один и тот же ответ.

Ответ: 24.

Вычислить 42 : 6 и проверить ответ

При делении 42 на 6 нужно найти число, которое при умножении на 6 даёт 42. Это число можно отыскать в таблице: ищем произведение 42 в столбце 6 · n. Проверка обратным действием подтвердит результат.

1. Находим равенство 6 · 7 = 42. Оно показывает, что 42 содержит семь шестёрок, поэтому 42 : 6 = 7. Частное в этом примере равно 7.
2. Проверяем деление умножением: 7 · 6 = 42. Получили исходное делимое, значит, частное найдено верно. При проверке можно записать и 6 · 7 = 42.

Ответ: 7.

В 6 одинаковых коробках 48 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

Карандаши распределены поровну между шестью коробками, а общее количество равно 48. Нужно определить, сколько приходится на одну коробку, поэтому общее количество делим на число коробок. Затем проверяем, действительно ли найденное число карандашей в каждой коробке даёт 48 при объединении шести коробок.

1. Записываем решение: 48 : 6 = ?. Ищем в таблице произведение, равное 48: это 6 · 8 = 48, поэтому 48 : 6 = 8. В каждой коробке окажется по 8 карандашей.
2. Проверяем: умножаем число карандашей в одной коробке на число коробок, 8 · 6 = 48. Результат совпал с общим количеством из условия, значит, распределение посчитано правильно. Проверка связывает ответ с исходными данными задачи.

Ответ: 8 карандашей.

Типичные ошибки

Иногда вместо 6 · n записывают 6 + n. Так происходит, если умножение принимают за прибавление числа один раз, хотя оно означает повторение одинакового слагаемого. Например, 6 · 4 — это 6 + 6 + 6 + 6, а не 6 + 4. Проверить себя можно, раскрыв произведение в сумму или сверившись с таблицей.

Некоторые считают, что при перестановке множителей произведение меняется. Это неверно: по переместительному свойству 6 · n = n · 6, например 6 · 4 = 4 · 6 = 24. Ошибка может возникнуть из-за того, что числа стоят в другом порядке и пример выглядит иначе. Чтобы проверить результат, поменяй множители местами и сравни произведения.

При делении на 6 можно выбрать число, которое не даёт делимое при умножении на 6. Часто так бывает, если частное пытаются угадать и не сверяют с таблицей. Например, для 42 : 6 подходит 7, поскольку 7 · 6 = 42. Проверяй каждый ответ умножением частного на делитель: результат должен совпасть с делимым.

В записи m : 6 = n иногда путают делимое и частное. Делимое m — число, которое делят, а частное n — результат действия; делитель здесь равен 6. Путаница возникает, когда числа называют без связи с их местом в записи. Прочитай пример вслух: «m разделить на 6, получится n», затем проверь n · 6 = m.

Связь с другими темами

Чтобы изучать умножение и деление на 6, нужно понимать умножение как сложение равных слагаемых, уметь складывать и знать переместительное свойство умножения. Помогают также таблицы умножения на меньшие числа и связанные с ними случаи деления: часть ответов можно получить перестановкой множителей. Позже таблица на 6 пригодится при вычислениях с многозначными числами, решении задач на равные группы и освоении письменного умножения и деления.

Что запомнить

• Умножить число на 6 — значит взять его шесть раз или умножить 6 на это число.
• При перестановке множителей произведение не меняется.
• Каждое следующее произведение в таблице на 6 больше предыдущего на 6.
• Деление на 6 связано с умножением на 6 как обратное действие.
• Чтобы проверить частное, умножь его на делитель.
• Если 6 · n = m, то m : 6 = n.