46. Порядок действий в выражениях со скобками

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Его состав определяют по числам, знакам действий и скобкам, если они есть. Понимание состава помогает увидеть, какие вычисления предстоит выполнить.

Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 7 + 5 равно 12. Этот термин нужен, чтобы отличать саму запись от результата её вычисления.

Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и показывают, что действия внутри неё нужно выполнить раньше остальных. В записи 20 − (6 + 3) сначала считают 6 + 3. Скобки позволяют изменить обычный порядок действий и точно указать замысел вычисления.

Порядок действий — это правила, определяющие, в какой последовательности выполнять арифметические действия. Они нужны потому, что одна и та же запись не должна давать разные результаты при разных способах счёта. По этим правилам вычисления становятся однозначными.

Как это устроено

Если не установить общий порядок, выражение можно было бы читать по-разному. Например, в записи 8 + 2 · 3 один человек мог бы сначала сложить 8 и 2, а другой — умножить 2 на 3. Результаты 30 и 14 различаются, поэтому математическая запись нуждается в едином соглашении.

Скобки задают приоритет, потому что выделенная часть должна быть рассмотрена как отдельный шаг. Это правило действует даже тогда, когда внутри скобок находятся сложение или вычитание. В выражении 15 − (4 + 2) сначала получают 6, а затем выполняют вычитание: 15 − 6.

Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Умножение и деление связывают числа сильнее: сначала определяется их результат, а потом к нему прибавляют или из него вычитают. Поэтому 10 + 6 : 2 равно 13, а не 8.

Действия одной ступени выполняют слева направо, потому что между ними нет дополнительного приоритета. В выражении 36 : 6 · 2 сначала выполняют 36 : 6, затем умножают результат на 2. Точно так же в записи 20 − 7 + 3 сначала вычитают 7, а затем прибавляют 3.

При нескольких скобках начинают с самых внутренних, так как их результат нужен для вычисления внешних скобок. После этого переходят к следующему уровню и продолжают по общим правилам. Так сложная запись постепенно превращается в более простую, пока не останется одно число.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей как алгоритмом: сначала проверь скобки, затем найди умножение и деление, а потом сложение и вычитание. На каждом этапе просматривай выражение слева направо и выбирай первое действие нужной ступени. После каждого вычисления удобно мысленно заменять выполненную часть её значением.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 18 − (6 + 4)

Сначала определяем часть, выделенную скобками: 6 + 4. Пока она не вычислена, выполнять вычитание нельзя, потому что скобки задают ей первый приоритет. После нахождения значения скобок останется одно действие.

1. Вычисляем выражение в скобках: 6 + 4 = 10.
2. Заменяем скобки числом 10 и выполняем вычитание: 18 − 10 = 8.

Ответ: 8. Проверка показывает, что сначала действительно была обработана скобочная часть, а затем выполнено вычитание.

Задача 2. Вычислить 24 : 4 + 3 · 2

Скобок нет, поэтому сначала ищем умножение и деление. Эти действия находятся в одной группе, но не смешиваются со сложением, которое выполняется позже. В данном выражении деление стоит левее умножения, поэтому начинаем с него.

1. Выполняем деление: 24 : 4 = 6.
2. Выполняем умножение: 3 · 2 = 6.
3. Складываем полученные результаты: 6 + 6 = 12.

Ответ: 12. Если сложить 24 и 4 в начале, правило порядка действий будет нарушено.

Задача 3. Вычислить 50 − (8 + 2 · (9 − 6)) : 2

В записи есть вложенные скобки, поэтому начинаем с выражения 9 − 6. Затем вычисляем внешние скобки, внутри которых останутся умножение и сложение. Только после этого можно выполнить деление и последнее вычитание.

1. Считаем внутренние скобки: 9 − 6 = 3.
2. Внешние скобки принимают вид 8 + 2 · 3. Сначала умножаем: 2 · 3 = 6.
3. Завершаем вычисление внешних скобок: 8 + 6 = 14.
4. Выполняем деление: 14 : 2 = 7.
5. Выполняем последнее вычитание: 50 − 7 = 43.

Ответ: 43. Такая последовательность показывает, как переходить от внутренних скобок к внешним и затем к действиям вне скобок.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять все действия строго слева направо. Её допускают, когда правило для действий одной ступени ошибочно переносят на всё выражение. Проверь себя: сначала отметь скобки, затем умножение и деление, и только потом сложение и вычитание.

Ошибка — сначала складывать или вычитать, а потом умножать и делить. Так происходит, если читать выражение как обычную фразу, не учитывая приоритет действий. Для проверки найди в записи знаки умножения и деления: без скобок они должны быть обработаны раньше знаков сложения и вычитания.

Ошибка — начинать с внешних скобок, когда внутри есть вложенные. Внешнее выражение нельзя полностью вычислить, пока неизвестно значение внутреннего. Проверь себя: найди скобки, внутри которых уже нет других скобок, и начни именно с них.

Ошибка — считать, что деление всегда выполняется раньше умножения или сложение раньше вычитания. Действия каждой пары имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют слева направо. Чтобы проверить решение, прочитай только действия одной ступени и убедись, что не перескочил через знак, стоящий левее.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа. Также важно уметь читать числовые выражения и отличать число от знака действия. Без этих навыков порядок действий нельзя применить к вычислениям.

Правило используется при нахождении значений выражений, решении текстовых задач и работе с формулами. В задаче порядок помогает правильно выполнить несколько вычислений подряд. В формуле он позволяет получить нужный результат, не перепутав связанные между собой действия.

Что запомнить

• Скобки указывают, какие действия выполнить раньше.
• Если скобки вложены, начинают с самых внутренних.
• После действий в скобках выполняют умножение и деление.
• Умножение и деление выполняют слева направо.
• Сложение и вычитание выполняют после умножения и деления.
• Сложение и вычитание одной ступени выполняют слева направо.