5. Ломаная. Длина ломаной

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из отрезков, соединённых последовательно: конец каждого отрезка, кроме последнего, является началом следующего. Поэтому звенья образуют одну непрерывную цепочку, а не просто набор отдельных отрезков. Ломаные используют, чтобы описывать путь между точками и составлять более сложные фигуры.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых она составлена. Звено обозначают буквами его концов: например, в ломаной ABCD звеньями будут AB, BC и CD. По обозначениям звеньев удобно определить состав ломаной и не пропустить отрезок при вычислении её длины.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев. У незамкнутой ломаной есть также два конца: начало первого звена и конец последнего; их тоже считают вершинами ломаной. Например, у ABCD вершины — A, B, C и D, а внутренние вершины B и C принадлежат двум звеньям.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины l₁, l₂ и l₃, то длина равна l₁ + l₂ + l₃. Это правило позволяет находить полный путь ломаной, даже если её звенья направлены в разные стороны.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, берут несколько отрезков и соединяют их последовательно. Конец первого отрезка совмещают с началом второго, конец второго — с началом третьего и так далее. Такое соединение нужно для того, чтобы отрезки образовали единую фигуру с непрерывным движением от одной точки к другой.

Соседними называют звенья, имеющие общую вершину, например AB и BC. Несоседние звенья общей вершины не имеют, например AB и CD в ломаной ABCD. У ломаной из нескольких звеньев появляются промежуточные вершины в местах соединения, а также два конца — начало первого и конец последнего звена.

Ломаная называется замкнутой, если конец последнего звена совпадает с началом первого. В этом случае цепочка отрезков возвращается в исходную точку и не имеет двух разных концов. Если такое совпадение не выполняется, ломаная незамкнутая: у неё есть начало и конец.

Длину ломаной находят сложением длин всех звеньев, потому что каждое звено является частью полного пути. Нельзя пропускать отрезок или считать его дважды: тогда получится длина другой фигуры. Удобно сначала выписать звенья по порядку, а затем сложить их длины.

Если ломаная соединяет две точки, её длина не меньше расстояния между ними. Прямая отрезка между концами является самым коротким путём, поэтому изгибы не могут сделать путь короче. Равенство возможно, когда все звенья лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, без поворотов и возвращений назад.

Элементы ломаной и её длина

Пользуясь таблицей, сначала определите вид ломаной и назовите её звенья. Затем проверьте, какие точки являются вершинами, и сложите длины всех звеньев. Такая последовательность помогает не перепутать точки с отрезками.

Если ломаная задана буквами, читайте их по порядку: в ABCD соседние пары дают AB, BC и CD. Для замкнутой ломаной последняя и первая точки соединены дополнительно, поэтому это звено тоже нужно учитывать.

Разбор задач

Задача 1

Ломаная состоит из звеньев длиной 3 см, 4 см и 5 см. Найдём её длину.

1. Выпишем длины всех звеньев: 3 см, 4 см и 5 см.
2. Сложим их, потому что длина ломаной равна сумме длин звеньев: 3 + 4 + 5 = 12 см.
3. Проверим, что каждое из трёх звеньев учтено ровно один раз.

Ответ: длина ломаной равна 12 см.

Задача 2

Ломаная ABCD имеет длины AB = 2,5 см, BC = 3 см и CD = 4,5 см. Найдём её длину и назовём звенья и вершины.

1. По соседним буквам определяем звенья: AB, BC и CD.
2. Все точки, встречающиеся в записи ломаной, являются её вершинами: A, B, C и D. Концы ломаной — A и D, а промежуточные вершины — B и C.
3. Складываем длины звеньев: 2,5 + 3 + 4,5 = 10 см.

Ответ: звенья — AB, BC и CD; вершины — A, B, C и D; длина ломаной равна 10 см.

Задача 3

Незамкнутая ломаная соединяет точки A и D и состоит из звеньев длиной 4 см, 3 см и 5 см. Сравним её длину с расстоянием AD.

1. Сначала найдём длину ломаной: 4 + 3 + 5 = 12 см.
2. Ломаная и отрезок AD соединяют одни и те же точки A и D. По неравенству треугольника длина ломаной не меньше расстояния AD.
3. Следовательно, AD ≤ 12 см. Равенство было бы возможным только при расположении всех звеньев на одной прямой в одном направлении.

Ответ: длина ломаной равна 12 см и не меньше расстояния AD; обычно она больше расстояния между концами.

Типичные ошибки

Иногда вершинами называют только промежуточные точки и забывают о концах. Так происходит, потому что в середине звенья действительно соединяются, а на концах соединения нет. Проверьте себя: выпишите все точки, от которых начинается или которыми заканчивается хотя бы одно звено.

Звенья путают с вершинами, хотя звено — это отрезок, а вершина — точка. Ошибка появляется, если не различать обозначения AB и A или B. Чтобы проверить ответ, спросите себя, можно ли измерить названный объект как отрезок.

При вычислении длины иногда пропускают одно звено или складывают его дважды. Причина обычно в том, что звенья не выписаны по порядку. Запишите последовательные пары букв и поставьте отметку возле каждого звена после сложения.

Некоторые считают, что длина ломаной всегда равна расстоянию между её концами. На самом деле расстояние измеряется прямым отрезком, а ломаная может отклоняться от прямого пути. Сравните: длина ломаной не меньше расстояния, а равенство возможно только без поворотов.

Связь с другими темами

До изучения ломаной нужно уметь распознавать отрезок, называть его концы и измерять его длину. Эти умения позволяют правильно выделять звенья и выполнять сложение их длин.

Длина ломаной понадобится при изучении многоугольников и их периметра: стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную. Понятие расстояния между концами помогает решать геометрические задачи и сравнивать разные пути.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями.
• Общие точки соседних звеньев — вершины ломаной.
• У незамкнутой ломаной два конца.
• У замкнутой ломаной конец последнего звена совпадает с началом первого.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• Длина ломаной между двумя точками не меньше расстояния между ними.