52. Таблица умножения и деления

Определения и обозначения

Умножение — арифметическое действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 · 5 означает 5 + 5 + 5 и равно 15. Числа 3 и 5 называют множителями, а результат — произведением. Такое обозначение удобно, когда одно и то же число складывают несколько раз.

Деление — действие, с помощью которого число делят на равные части или узнают, сколько раз одно число содержится в другом. В записи 15 : 5 = 3 число 15 — делимое, 5 — делитель, а 3 — частное. Деление помогает восстановить множитель по произведению и другому множителю. На ноль делить нельзя: такого числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое, не существует.

Как это устроено

Таблица умножения показывает результаты умножения чисел, обычно от 1 до 10. Её можно понять через одинаковые группы: например, 4 · 6 — это четыре группы по шесть предметов. Если посчитать предметы по одному, получится 24, но таблица позволяет получить тот же ответ быстрее. Поэтому знание таблицы экономит время в вычислениях и помогает не пересчитывать группы каждый раз.

Перестановка множителей не меняет произведение: 4 · 6 = 6 · 4. Четыре группы по шесть и шесть групп по четыре дают одинаковое общее количество, хотя группы устроены по-разному. Это свойство позволяет запоминать меньше табличных равенств: достаточно знать один результат для пары множителей. Например, вспомнив 7 · 3 = 21, можно сразу получить 3 · 7 = 21.

Умножение связано с делением как прямое действие с обратным. Если 4 · 6 = 24, то из общего количества 24 можно выделить четыре равные группы по шесть или разделить его на шесть групп по четыре. Поэтому из одного равенства умножения получаются два равенства деления: 24 : 4 = 6 и 24 : 6 = 4. Эта связь позволяет не заучивать деление отдельно, а восстанавливать его по известному табличному примеру.

При умножении на 1 число не меняется: один раз взять число — значит получить это же число. При умножении на 0 результат равен 0, потому что ноль раз взять любое количество — не взять ничего. При делении единицы действуют иначе: число, делённое на себя, равно 1, если оно не равно нулю, поскольку в нём содержится одна такая величина. Эти простые случаи полезно помнить отдельно, чтобы не применять к делению правила умножения.

Неизвестное число в примере можно найти, рассуждая по связи действий. Если неизвестен множитель, например □ · 5 = 35, нужно разделить произведение на известный множитель: 35 : 5 = 7. Если неизвестно делимое в записи □ : 5 = 7, его находят умножением: 7 · 5 = 35. Если неизвестен делитель в записи 35 : □ = 7, делимое делят на частное: 35 : 7 = 5.

Таблица умножения и деления

Чтобы найти произведение, выбери строку с нужной парой множителей. Для деления найди в таблице делимое и используй два множителя из той же строки: один будет делителем, другой — частным. Такая проверка особенно удобна, когда ответ не удаётся вспомнить сразу.

Разбор задач

Задача 1. В коробки разложили 36 карандашей поровну, по 6 карандашей в каждую. Сколько коробок понадобилось? Нужно узнать, сколько раз число 6 содержится в 36, поэтому выбираем деление. Для проверки результата пригодится обратное действие — умножение.

1. Запишем действие: 36 : 6 = □.
2. Вспомним таблицу: 6 · 6 = 36, значит, в 36 шесть групп по 6.
3. Получаем 36 : 6 = 6.
4. Проверим: 6 коробок по 6 карандашей дают 6 · 6 = 36 карандашей.

Ответ: понадобилось 6 коробок. Здесь деление выбрано потому, что известны общее количество предметов и количество предметов в каждой равной группе. Проверка подтверждает, что после разложения использованы все карандаши и лишних коробок не появилось.

Задача 2. На 7 тарелок положили поровну 42 печенья. Сколько печений оказалось на каждой тарелке? Здесь известно число равных групп и общее количество, но неизвестно содержимое одной группы. Значит, нужно разделить общее количество на число тарелок.

1. Обозначим число печений на одной тарелке: 42 : 7 = □.
2. Найдём в таблице умножения равенство с произведением 42 и множителем 7: 7 · 6 = 42.
3. Следовательно, 42 : 7 = 6.
4. Проверим умножением: если на каждой из 7 тарелок по 6 печений, всего будет 7 · 6 = 42.

Ответ: на каждой тарелке 6 печений. При решении мы использовали то, что деление восстанавливает неизвестный множитель. Проверка обратным действием помогает заметить неверный ответ: при умножении частного на делитель должно получиться исходное делимое.

Типичные ошибки

• Путают порядок чисел при делении и считают, например, 6 : 24 вместо 24 : 6. Так происходит, когда деление воспринимают как действие, в котором числа можно менять местами, как множители. Проверяй смысл записи: делимое — это общее количество, а делитель показывает, на сколько частей делят или каков размер каждой группы.

• Запоминают результат умножения неверно или смешивают соседние строки таблицы. Эту ошибку допускают при поспешном ответе без проверки. Восстанови пример через сложение одинаковых слагаемых либо проверь, соответствует ли произведение нужной паре множителей.

• Проверяют деление повторным делением, поэтому ошибка может остаться незамеченной. Для проверки используй обратное действие: частное умножь на делитель. Если произведение не равно делимому, вычисление нужно выполнить заново.

• Пытаются делить на ноль или считают, что при делении на ноль получается ноль. Так путают правила умножения на ноль и деления на ноль. Проверка показывает невозможность такого действия: не существует числа, которое при умножении на ноль даст исходное ненулевое делимое.

Связь с другими темами

Умножение связано со сложением одинаковых слагаемых, поэтому помогает быстро находить общее количество предметов в равных группах. Деление связано с умножением и используется при распределении предметов поровну, а также при нахождении числа групп. Эти действия понадобятся при вычислении значений выражений и решении текстовых задач. Позже на той же связи будут строиться действия с большими числами, дробями и уравнениями.

Что запомнить

• Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых.
• Если a · b = c, то c : a = b и c : b = a, когда делители не равны нулю.
• При умножении множители можно переставлять, а произведение не изменится.
• Проверяй деление умножением: частное · делитель = делимое.
• На ноль делить нельзя.