54. Деление круглого числа на круглое число

Определения и обозначения

Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями: 10, 70, 300, 4500. Ноль сам по себе не считают самостоятельным делителем, потому что делить на ноль нельзя. Это определение помогает быстро заметить, где при вычислении могут быть общие конечные нули.

Делимое — число, которое делят. В записи 3600 : 120 = 30 число 3600 является делимым и обычно стоит слева от знака деления. От него начинают сокращение нулей и именно его получают при проверке результата.

Делитель — число, на которое делят. В записи 3600 : 120 = 30 делитель равен 120 и стоит справа от знака деления. Делитель обязательно должен быть отличен от нуля, иначе действие не имеет смысла.

Частное — результат деления. В примере 3600 : 120 = 30 числом 30 является частное. Его можно проверить умножением: частное умножают на делитель и получают делимое.

Как это устроено

Конечные нули в записи круглого числа появляются потому, что число содержит множитель 10, 100, 1000 и так далее. Например, 3600 = 36 · 100, а 120 = 12 · 10. Если общий множитель есть и в делимом, и в делителе, оба числа можно разделить на него одновременно, не меняя значения частного: (a · c) : (b · c) = a : b.

Количество сокращаемых нулей определяют по общим конечным нулям. Сравнивают, сколько нулей стоит в конце делимого и делителя, и выбирают меньшее количество. Например, в 45 600 два конечных нуля, а в 1200 — два, поэтому можно зачеркнуть два; в 2400 и 60 общий только один нуль.

После сокращения нулей остаются обычные числа, которые делят известным способом. В записи 3600 : 120 после одного общего нуля получается 360 : 12, а затем 30. Смысл приёма не в удалении цифр, а в делении обоих чисел на один и тот же множитель.

Зачёркивать нули только в делимом или только в делителе нельзя, потому что тогда числа изменяются неодинаково. Например, если из 800 убрать два нуля, а из 20 — ни одного, выражение превратится в 8 : 20 вместо 800 : 20. Новое частное будет другим, поэтому сокращение должно происходить одновременно и в одинаковом количестве.

После вычисления полезно выполнить обратное действие. Частное умножают на исходный делитель, а полученное число сравнивают с исходным делимым. Если, например, 3600 : 120 = 30, то проверка 30 · 120 = 3600 подтверждает правильность ответа.

Алгоритм деления круглого числа на круглое число

Таблицу удобно читать сверху вниз, не пропуская шаги. Сначала находят только общие конечные нули, затем выполняют сокращение и обычное деление. В конце используют исходный делитель, а не сокращённый, чтобы проверить весь пример.

Разбор задач

Вычислить 80 : 10

В делимом 80 и делителе 10 есть один общий конечный нуль. Его можно сократить в обоих числах, потому что это значит разделить их на 10. После этого остаётся простое деление.

1. Зачеркнём один нуль в 80 и один нуль в 10: 80 : 10 = 8 : 1.
2. Разделим оставшиеся числа: 8 : 1 = 8.
3. Проверим результат: 8 · 10 = 80.

Ответ: 8.

Вычислить 2400 : 60

Числа оканчиваются нулями, но общим является только один конечный нуль: в 2400 их два, а в 60 — один. Поэтому нельзя сокращать два нуля только в делимом. Сначала упростим выражение, а затем разделим 240 на 6.

1. Зачеркнём по одному нулю: 2400 : 60 = 240 : 6.
2. Выполним обычное деление: 240 : 6 = 40.
3. Проверим частное исходным делителем: 40 · 60 = 2400.

Ответ: 40.

Вычислить 45 600 : 1200

В конце делимого 45 600 стоят два нуля, и в конце делителя 1200 также стоят два нуля. Значит, оба числа можно одновременно разделить на 100. Получившиеся 456 и 12 уже можно делить обычным способом.

1. Зачеркнём два общих нуля: 45 600 : 1200 = 456 : 12.
2. Разделим оставшиеся числа: 456 : 12 = 38.
3. Проверим ответ: 38 · 1200 = 45 600.

Ответ: 38.

Типичные ошибки

Зачёркивают все нули только в делимом. Так происходит, когда сокращение принимают за простое удаление цифр. Нужно помнить о делении обоих чисел на один и тот же множитель и проверить себя обратным умножением.

Зачёркивают разное количество нулей. Из-за этого делимое и делитель изменяются неодинаково, поэтому меняется частное. Сосчитайте общие конечные нули и убирайте их парами.

Продолжают сокращение после окончания общих нулей. Если в одном числе нули закончились, дальше сокращать нельзя. Сравните исходные записи и остановитесь на меньшем количестве конечных нулей.

Ошибаются в обычном делении или не делают проверку. После сокращения остаётся обычный пример, в котором тоже возможна ошибка. Умножьте найденное частное на исходный делитель: результат должен совпасть с делимым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать разрядный состав круглых чисел, а также умножение и деление на 10, 100, 1000. Эти знания объясняют, почему конечные нули связаны с множителями 10.

Правило опирается на основное свойство частного: делимое и делитель можно одновременно разделить на одно и то же ненулевое число. Позже этот приём поможет упростить письменное деление многозначных чисел.

Сокращение нулей пригодится в текстовых задачах и вычислениях с единицами измерения. Например, так удобнее работать с сантиметрами, рублями, килограммами и другими величинами, записанными круглыми числами.

Что запомнить

• Круглое число оканчивается одним или несколькими нулями.
• Нельзя делить на ноль.
• В делимом и делителе зачеркивают одинаковое количество общих конечных нулей.
• После сокращения нулей делят оставшиеся числа.
• Зачеркивание нулей означает деление обоих чисел на один и тот же множитель 10.
• Результат можно проверить умножением частного на делитель.